Представления гиперболических групп

• Автор: Егоров, Андрей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 109 с.

Содержание
Введение
1 Основные понятия теории гиперболических групп
1.1 Словарная метрика на группе
1.2 Квазиизометрии пространств
1.3 Геометрические свойства групп
1.4 Гиперболические пространства
1.5 Гиперболические группы
1.6 Алгебраические свойства
1.7 Алгоритмические свойства
1.8 Проблема резидуальной конечности
1.9 Граница гиперболической группы
2 Точные представления и топологическая динамика
2.1 Метод расщепляемых координат
2.2 Почти-периодические действия
2.3 Дистальные действия
2.4 Слабая сходимость мер
2.5 Теорема о неподвижной точке
2.6 Инвариантная мера
2.7 Почти-периодичность и дистальность
2.8 О почти-периодических группах
2.9 Группы унитарных операторов
3 Линеаризация гиперболических групп
3.1 Отношение проксимальности
3.2 Минимальность и размешивание
3.3 Когомологии и функции Буземанна
3.4 Расширенная проблема Бернсайда

3.5 О значении линеаризации
3.6 Гиперболические категории

4 Структурно устойчивые группы
4.1 Формализация полугиперболичности
4.2 Близость и эквивалентность
4.3 Устойчивость и неустойчивость
4.4 Устойчивость свободных групп
4.5 Неустойчивость группы Гейзенберга
4.6 Открытые проблемы
Заключение
Приложение

Литература

Введение
Предлагаемая диссертационная работа содержит некоторые результаты, связанные с развиваемым автором подходом к вопросу о представимости линейными операторами гиперболических групп. Этот подход позволяет связать теорию гиперболических групп с техникой теории алгебраических групп и получить некоторые новые результаты о структуре гиперболических групп.
В знаменитой работе Дена [54] была решена проблема равенства слов для фундаментальной группы компактной римановой поверхности рода не меньшего двух. Исследования Дена привели к появлению алгоритма, который позволяет при благоприятных условиях решать проблему равенства слов в конечно-определенных группах, отправляясь от их задания образующими и определяющими соотношениями. В дальнейшем оказалось возможным связать многие задачи комбинаторной теории групп с изучением класса групп, проблема равенства слов в которых решается алгоритмом Дена. Один из ярких примеров подобного рода — работа С.И.Адяна [1], в которой скорость сходимости алгоритма Дена использована для оценки так называемого похсазателя роста группы, что позволило доказать неаменабельность некоторых свободных бернсайдовых групп.

В настоящее время, после появления теории гиперболических групп М.Громова, стала еще более ясной классическая связь алгоритма Дена с отрицательностью кривизны рассматриваемой поверхности или отрицательностью секционной кривизны более сложного гладкого многообразия. Отправляясь от базового примера фундаментальной группы компактного риманова многообразия отрицательной секционной кривизны, М.Громов построил теорию, применяющую понятие ” отрицательности кривизны” к произвольным конетно-порожденным группам, не обязательно возникающим из геометрических рассмотрений.
Используемый в теории М.Громова метод является глубоко геометрическим и опирается на развитую теорию гиперболических метрических пространств. Возможность успешного перенесения свойства отрицательности кривизны, известного первоначально только для многообразий, на произвольные геодезические пространства обеспечивается весьма глубокими геометрическими результатами, например, такими как теоремы сравнения Александрова и Топоногова. Исключительно важным инструментом оказалось понятие квазиизометрии геодезических пространств, восходящее к работам Г.А.Маргулиса. Руководством по теории гиперболических пространств могут служить монографии [9], [53].
Дальнейшее развитие теории гиперболических групп Громова показало, что класс гиперболических групп по существу совпадает с классом групп, проблема равенства слов в которых разрешима с помощью алгоритма Дена. Соответствующие результаты были получены в работе И.Г.Лысенка [20]. Таким образом, класс гиперболических групп оказывается весьма широким. Это позволяет использовать геометрическую технику теории М.Громова в таких чисто алгебраических вопросах как, например, изучение групп с одним определяющим соотношением и кручением. Класс гиперболических групп содержит также важные подклассы групп с малыми сокращениями типаС;(1/б) и С/(1/4)&Т(4). Естественно рассматривать гиперболическую теорию М.Громова как далеко идущее геометрическое обобщение теории малых сокращений и распространение некоторых идей теории малых сокращений на группы неограниченно высокой когомологической размерности.
Начальный этап развития теории гиперболических групп ознаменовался получением большого числа структурно-алгебраических и алгорит-

мируемости более естественно ставить в классе автоматных групп. Возможно, что при надлежащих дополнительных условиях, упомянутая техника построения почти-периодических 01-функций применима и в классе автоматных групп, среди которых находятся гиперболические группы. Эти соображения могут привести к получению чисто комбинаторного доказательства финитной аппроксимируемости гиперболических групп при сохранении основной ” динамической” сути подхода к проблеме. Сказанное объясняет важность понятия почти-периодичности в данном круге вопросов.
Пусть С — конечно-порожденная почти-периодическая группа операторов в банаховом пространстве В. Замкнутую орбиту вектора Ь Е В будем обозначать через С,. Рассмотрим топологическое произведение
С = П && замкнутых орбит всех векторов пространства В. Согласно /с в
теореме Тихонова пространство С компактно. Точка у в пространстве О интерпретируется как отображение, ставящее в соответствие каждому вектору Ь £ В некоторый вектор у& Е Вектор 'уь суть координата точки у по индексу Ь. Поэтому произвольной точке 7 Е С соответствует некоторое отображение пространства В в себя.
Утверждение 2.2.3 Пространство С наделяется структурой полугруппы с единицей (моноида).
Доказательство. Если рассмотреть композицию отображений вышеуказанного вида, то получим снова отображение, происходящее из некоторой точки пространства О. Действительно, пусть точка 7 £ (? переводит вектор Ь в вектор 7ь 6 а точка у' Е О переводит вектор уь в вектору £ Суь. Ясно, что Суь С Сь иу!1( £ СД. Следовательно, отображение, переводящее Ь в у'/ь, соответствует некоторой точке уу', называемой произведением у и у'. Итак, компактное топологическое пространство приобретает структуру моноида. Ассоциативность умножения следует из ассоциативности композиции. Единицей является точка, координата которой по индексу Ь Е В равна Ь. Этой точке соответствует тождественное отображение ге? : В -э В. □
Каждый элемент д Е С рассматривается как обратимый линейный непрерывный оператор на пространстве В и интерпретируется как точка