Некоторые экстремальные многообразия линейных алгебр

• Автор: Попов, Александр Викторович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Ульяновск
• Количество страниц: 80 с.

Изучение многообразий линейных алгебр над некоторым полем, т.е. классов алгебр, в которых выполняется фиксированный набор тождественных соотношений, является традиционной задачей современной алгебры. Наиболее изученными являются многообразия ассоциативных и лиевых алгебр. Но даже в этих классах алгебр, несмотря на достаточно обширную информацию о структуре многообразий, многие вопросы до сих пор остаются открытыми. Если говорить о других классических примерах многообразий алгебр, то те оказываются еще менее исследованными. Одним из таких примеров является многообразие йордановых алгебр.
Йордановы алгебры определяются тождествами коммутативности и "йордановости":
ху = ух,
(ух2) X = (ух) X2.
Они возникли в работе немецкого физика П. Иордана, посвященной аксиоматизации основ квантовой механики (см. [49]).
Среди вопросов, возникающих при изучении многообразий линейных алгебр можно выделить два основных.
Первый, — имеет ли данное многообразие конечный базис тождеств и как он устроен. Для многообразий линейных алгебр в случае ассоциативных РІ-алгебр над полем нулевой характеристики данный вопрос впервые был поставлен Шпехтом в 1950 г. (см. [54]). Для ассоциативных алгебр над полем нулевой характеристики конечная базируемость была доказана А.Р.Кемером в 1986 г. (см. [11],[13]). В лиевском случае
(над полем нулевой характеристики) конечная базируемость доказана при выполнении различных дополнительных тождественных соотношений. В случае поля положительной характеристики существуют примеры бесконечно базируемых многообразий как в лиевском, так и в ассоциативном случае (см. [34],[55]). В целом же (для неассоциативных алгебр) вопрос является очень сложным.
Второй вопрос, — как устроено многообразие, задаваемое данной системой тождественных соотношений.
Как для первого, так и для второго вопроса, обширную информацию о многообразиях дает исследование их числовых характеристик. Важнейшей числовой характеристикой многообразия является последовательность коразмерностей идеала тождественных соотношений многообразия в свободной алгебре. Для краткости, говорят просто о последовательности коразмерностей многообразия.
В зависимости от асимптотического поведения коразмерностей многообразий, выделяют многообразия экспоненциального, полиномиального, сверхэкспоненциального, промежуточного между полиномиальным и экспоненциальным роста.
В случае ассоциативных алгебр в 1971 г. Регевым было доказано, что при выполнении нетривиальных тождественных соотношений рост многообразия экспоненциально ограничен (см. [53]). Позже было доказано, что не существует многообразий промежуточного роста, и вообще, последовательность коразмерностей многообразия ведет себя асимптотически, либо как экспонента с целым показателем, либо как полином с целой степенью (см. [40],[44]).
В случае алгебр Ли хорошо известен пример Воличенко (см. [3]), — многообразие алгебр Ли, порожденное тождеством (аця^з) (уШУз) = 0 > имеющее сверэкспоненциальный рост. Но также, как и для ассоциативных алгебр, было доказано С.П. Мищенко, что не существует многообразий промежуточного роста. Также им было доказано, что не существует

входят в него в к симметрических наборах. Отождествим буквы, входяпоявляться одинаковые скобки, которые при помощи (2.18) могут быть сведены вместе. Применяя (2.8) и (2.11), получаем:
Подбирая достаточно большое т и осуществляя это преобразование, рано или поздно мы получим в слове квадраты одинаковых букв:
Теперь остался случай, когда длина первого столбца А) может быть не ограничено увеличена за счет увеличения т. Пусть к — Х[. Это означает, что всякое слово вида (2.19) может быть представлено в виде линейной комбинации элементов Р^т , имеющих кососимметрический набор переменных из к букв. Так как выполнена коммутативность, в одну скобку может входить только одна буква из кососимметрического набора:
Сдвинем скобки с буквами из кососимметрических наборов с помощью (2.12) и (2.18) максимально влево. Получим элементы двух видов. Во-первых, когда все скобки с буквами из кососимметрического полностью сдвинуты влево:
Когда вторая скобка не содержит буквы из кососимметрического набора, а остальные к скобок из к + 1 стоящих в начале, содержат буквы из кососимметрического набора:
щие в один набор. Тогда в словах (2.19) при т > у неизбежно будут
(ХггХ^) . . . (хщ) (ХгХ^) . . . = -§ (хдЖд) . . . ((ад) (х^))
(хкХ>2) • . . . • (х^ХЬ) • . . . • (х^Х^) ■ ... (хг^х^)
(2.20)