Применение метода изометрических преобразований к оценке полных рациональных тригонометрических сумм

• Автор: Кудрявцев, Михаил Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 147 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

Глава I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ

§1.1. Теорема об умножении

§ 1.2. Лемма о линеаризации аналитических функций

§ 1.3. Лемма Гензеля о подъеме решения

§ 1.4. Модифицированная лемма о разбиении суммы

S(f;%;pa)

Глава II. СУММЫ ГАУССА ПОРЯДКА N И ОЦЕНКА ИХ МОДУЛЯ

§ 2.1. Суммы Гаусса S (а; р“) и оценка их модуля
сверху
§ 2.2. Оценка модуля сумм Гаусса Sn(a; q)
§ 2.3. Оценка сумм Гаусса третьего и четвертого порядка
Глава III. ОЦЕНКА ЧИСЛА ГНИЕНИЙ ПОЛИНОМИАЛЬНОГО СРАВНЕНИЯ §3-1. Теоремы о равносильности полиномиальных сравнений по примерному модулю
§ 3.2. Оценка числа решений сравнения (3-2)
§ 3-3. Частный случай и уточнение оценок для числа решений сравнения (3.2)

Глава IV. ОЦЕНКИ ПОЛНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЕ § 4.1. Оценка IS(f; %; р“)| о учетом кратности корней
f' (х) в поле F

§ 4.2. Оценка числа решений сравнения f(x) =a(modp°)
§ 4.3. Оценка |S(f; %; p“)t. Лемма о разбиении в
модификации Смита. Частный случай
§ 4.4. Оценка !S(f; х; Р°) I • Лемма о разбиении в
модификации Смита. Общий случай
§ 4-5- Контрпример к работе Локстона и Вона
ПРИЛОЖЕНИЯ
Литература

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
N - множество натуральных, чисел;
Z - кольцо целых рациональных чисел;
Q - поле рациональных чисел;
R - поле действительных чисел;
С - поле комплексных чисел;
q,n, О - кольцо целых р-адических чисел;

Q - поле р-адических чисел;

F - конечное поле из р элементов (поле вычетов по модулю р);

Z{x] и 0 [сг] -кольца многочленов, соответственно, над Z и О ;

ordjl -р-адический показатель р, где 0 е Qp ; f=f(x)=Е а хк , /Є ZfxJ или / є О їх];
к = 0 "
deg/ - степень многочлена /, где / *О. Если о^Ю, то deg/ -ті; deg /= max{ k I Os k s n, pia^) - степень многочлена no modp; lo(f) =an - старший коэффициент / ;
С(/)=НОДСа , ,a,) - содержание f ;
ll p равносильно равенству V = ord^fl, где p фО, Д eZ или
M 0 ;

f 1, если і la ,
S (a) =[ где a, * г( - целые;
m L О, если m ha ,
[t], Сt} - целая и дробная части числа t, соответственно; e(t)= exp(2nlt), где ( сС , іа s-J ;
X - либо характер Дирихле по mod q, либо единичный характер: (х) шв 1. В последнем случае % обозначим через 1;

І£ї/; х; р“Л * &е£р(Г'/с(Г'))Ра/3-(і)(Г')і/г, ра/г -1). Причем, если еравнеше /Чж) =0("то<ір[°/аі) неразрешимо, то
Я/л/р“) = о.
Если же р =2 и а >3 - нечетное, то
(3) ІЭ(/;х;2*) ^шх(1 ЛЩ3(Г'/С(Г ))>2°‘/3(20(Г ),2°)1/3!
(4) если кроме того а > 2атА£(^), то
Sif-, х; 2аТІ £ йеЕа<7'/С(У'))2а/г-((тґ'))1/г, '2а/3 -1).
( 1, еоли та;
Обозначим 5т(а) = 1 0> есш т>а_
Теорема 4-3.2. Пусть f(x) - /("0) примитивный многочлен с целыми коэффициентами степени п гЗ, такой, что В(/') *О. Пусть д >1 -целое,
Ф = П Р . І?! = П р, Ч2 = р/Рі-
РІЧ РІЧ» аг<і 4=

Пусть Х(х) - характер Дирихле по модулю либо х(х) =1 .
Тогда
|£(7; х; ?Л з
4 /Р Г 1 Г 5р(чо> 1 1/
* ? (її «ЛП шахИДеё С/'/СГ/ЛЛ 2 "В(7'Д д! .
РІЧ1 РІч
В § 4.4 доказаны теоремы 4.4.1, 4-4.2 и 4.4-3..
Оценка по примарному модулю доказана в следующей теореме. Теорема 4.4.1. Пусть р простое, а > 2 целое, / многочлен из Ъ[х] степени п, п г 2. Тогда (1) если Дед С/'/СС/'З) = О и а >2огс1 0(1') +1, то

я,г;х;р”) ■= 0;
І3(7;х;р“л з р°;