Структура Г-конформных алгебр и вложения алгебр Лодея

• Автор: Губарев, Всеволод Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 119 с. : ил.

Содержание
Введение
1 Г-конформные алгебры
1.1 Псевдоалгебры
1.2 Основные определения
1.3 Многообразия Г-конформных алгебр
1.4 Свободные Г-конформные алгебры
1.5 Простые ассоциативные и лиевы Г-конформные алгебры
1.6 Полупростые ассоциативные и лиевы Г-конформные алгебры
1.7 Ж-конформные алгебры Ли
2 Вложение алгебр Лодея в алгебры Рота—Бакстера
2.1 Произведения операд, Кожуль-двойственность
2.2 Многообразия ди- и триалгебр
2.3 Многообразия пре- и посталгебр
2.4 Алгебры Рота—Бакстера
2.5 Вложение пре- и посталгебр в алгебры Рота—Бакстера
2.6 Г-конформные алгебры и g-тpиaлгeбpы
3 Алгебры Лодея и псевдоалгебры
3.1 Вложения ди алгебр в псевдоалгебры
3.2 Основная теорема
3.3 Лиевы ди- и триалгебры
3.4 Иордановы ди- и триалгебры
Приложение
Литература

Введение О теме диссертации
Конформные алгебры были введены В.Г. Кацем [54] в начале 1990-х годов при исследовании алгебр вертексных операторов. Последние возникли при описании Алгебраических свойств разложения операторного произведения (operator product expansion, OPE) в двумерной конформной теории поля [25]. Математическое изложение соответствующей теории было предложено в [28], см. также [43, 49]. На данный момент теория алгебр вертексных операторов является активно развивающейся областью теории представлений и математической физики. В определенном смысле (см. [54]) структура конформной алгебры описывает сингулярную часть алгебры вертексных операторов. В теории конформных алгебр получен ряд структурных результатов: в работах [13, 20, 93] описаны простые и полупростые лиевы, ассоциативные и йордаповы конформные алгебры конечного типа, в [57] — ассоциативные конформные алгебры линейного роста.
Конформной алгеброй называется линейное пространство С (над полем характеристики нуль), снабжённое одной линейной операцией Т: С —> С и счётным семейством билинейных операций (■(„)■): С ® С —> С, индексированных натуральными числами, причем для любых а, 6 £ С выполнено: а (п) 6 = 0 для почти всех п;
Та b по, (п—х) ^ ^ (п) ТЬ Т(а (n) b^j -f- па (гг—i)
Любая конформная алгебра может быть вложена в пространство формальных степенных рядов A[[z, z“1]] над подходящей алгеброй А, где
(Ta)(z) = — a(z), (а in 6)(z) = Resa(w)b(z)(w — z)n. dz w=o
Здесь Res f(w, z) обозначает коэффициент при гн“1 ряда /(z, w) из пространства Л[[г, z-1, w, хн-1]].

Понятие Г-конформной алгебры (точнее, Г-конформной алгебры Ли) было предложено В.Г. Кацем и М.И. Голенищевой-Кутузовой в [51] для аксиоматического описания сингулярной части ОРЕ киральных полей с простыми полюсами в конечном числе точек или, что то же самое, как ^-деформация классического ОРЕ в теории конформных алгебр. Другой подход к этой же задаче изложен в [64], где было введено понятие Г-вертексной алгебры. В [65] рассматривалась связь между Г-конформными и Г-вертексиыми алгебрами.
Пусть Г — произвольная группа, кГ — групповая алгебра. Г-конформной алгеброй называется левый кГ-модуль С, снабжённый множеством {-(7)- | 7 Є Г} билинейных операций (7-произведений), если для любых а,Ь Є С и а, 7 Є Г выполнены следующие аксиомы: а^)Ь = 0 для почти всех 5 є Г; аа^Ъ — а^аЬ — а(а(0-і7ф).
Конформные и Г-конформные алгебры являются частными случаями псевдоалгебр [20] над алгебрами Хопфа: конформные алгебры - над алгеброй многочленов к[Т], Г-конформные — над групповой алгеброй кГ. В [4] введено общее понятие конформной алгебры над линейной алгебраической группой б?, включающее в себя класс обычных алгебр над полем (при Є = {є}), конформные алгебры (при Є = А1 ^ (к, +), где к — поле характеристики 0). Класс Г-конформных алгебр включает в себя конформные алгебры над линейной алгебраической группой Ст = (к*,-): это в точности Ж-конформные алгебры над аддитивной группой целых чисел [4].
По аналогии с теорией конформных алгебр естественным образом формулируется
Проблема 1. Описать простые и полупростые ассоциативные и лиевы Г-конформные алгебры конечного типа.
Отметим, что в работе [20] были классифицированы простые и полупростые псевдоалгебры над алгебрами Хопфа вида Н = б/(д)[]кГ (здесь ]} обозначает смэш-произведение алгебр Хопфа), конечно-порождённые как модули над И(д), где Н(д) — универсальная обёртывающая алгебра конечномерной алгебры Ли д, к — алгебраически замкнутое поле характеристики 0. При д = {0} это условие влечёт конечномерность над к, в диссертации же рас-

(1) при С Е rnioc(As)
N(ah]b,c) < N(b,c), N(a,bb)c) < N{a,b)\
(2) при С Е rnioc(Lie)
|АГ(о, b) = N(b, а)|, N(d(7)b, с)| < |JV(a,c)| + |JV(b, с)|;
(3) при С Е rni0C(Alt)
|7V(a(7)b,c)| < |АГ(а,с)| + |W(b,c)| + N(c,b),
N(a,bi7)c) < |Аг(а, с)| + N(a,b) + N(b, а)|.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Тождество ассоциативности (см. следствие 1.3.3) можно записать в виде (a^b)^c — a^(b^c). При ß $ N(b,c) получаем, что (о(7)Ь)(0)С = 0, следовательно, N(a^b,c) С N(b,c) и выполнено первое неравенство из пункта (1). При 7 0 N(a. b) получаем /З7 $ N(a, Ь(д)с). Значит, ß~1N(a,b^ß')c) С N(a,b) и выполнено второе неравенство (1).
Пункты (2) и (3) доказываются аналогично.
Рассмотрим множество В — {bj | j Е J} порождающих и определенные на нём множества локальности N(bi,bj), i,j Е J, такие, что N(bi,bj) < со. Обозначим такой набор множеств локальностей как N(B) = {(N(bi,bj),i, _))}. Построим для некоторых классических многообразий Var свободную Г-конформную алгебру PVar(ß, N) — универсальную алгебру в классе Гуаг(-В,АГ) всех Г-конформных алгебр многообразия Var, порождённых множеством В и удовлетворяющих следующему условию: множество локальности каждой пары порождающих bi,bj, i,j Е J, является подмножеством в N(bi,bj).
Рассмотрим свободную алгебру SyRT(B) многообразия Var, порождённую множеством (а(а)а ЕВ, а Е Г). Определим действие автоморфизмов 7, 7er, на порождающих как 7(а(а)) = a(ja), а 7-произведения как a(a)^b(ß) — a{^a)b{ß). Легко видеть, что пространство Syav(B) относительно действий 7 и 7-произведений, 7 Е Г, является алгеброй из rni0C(Var). Алгебра SVar(-B) универсальная в классе алгебр из rni0C(Var), порождённых множеством В, так как произвольная алгебра Werni0c(Var), порождённая множеством {bj | j Е J} может быть получена как гомоморфный образ