Асимптотическое поведение арифметических функций в классах вычетов

• Автор: Жимбо Энри Клавер
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 65 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. О распределении значений модулей неполных сумм Гаусса
§ 1. Неполные суммы Гаусса
§ 2. Обобщенные суммы Гаусса
ГЛАВА II. О распределении значений арифметических функций по простому модулю
§ 1. О распределении значений аналогов неполных сумм Клостермана
§ 2. О распределении значений обобщенных неполных сумм Клостермана
§ 3. Оценка арифметических сумм в классах вычетов по различным модулям ... 33 § 4. О совместном распределении арифметических последовательностей по нескольким вычетам
ГЛАВА III. Распределение значений сумм арифметических функций по классам вычетов
§ 1. Общая теорема
§ 2. Арифметические следствия
§ 3. Распределение значений арифметических функций в обратных классах вычетов
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
Некоторые результаты теории чисел допускают вероятностное истолкование. Поэтому естественно привлечь методы теории вероятностей для решения арифметических задач. В настоящее время уже имеется целый ряд результатов во многих разделах теории чисел, строго доказанных путем теоретико - вероятностных методов. Перенесение в теорию чисел идей и методов теории вероятностей часто позволяет предсказать, быть может, в грубой форме некоторые теоретико -числовые факты, снабжает теорию чисел новым арсеналом методов исследования и приводит к новым, иногда весьма неожиданным результатам.
Некоторые классические суммы специального вида, например, суммы Гаусса, суммы Клостермана, суммы характеров с обратными величинами и так далее, распределены весьма разнообразно. Если проследить за асимптотическим поведением их среднего значения при определенных условиях, то получится интересная картина, которой также обладают некоторые случайные величины. Все же оказывается, что в целом распределение значений многих таких сумм подчиняется некоторым простым закономерностям, для формулировки и доказательства которых, кроме методов теории чисел, могут быть использованы идеи и методы теории вероятностей. При этом во многих случаях изучение распределения значений классических сумм сводится

к изучению асимптотического поведения их моментов.
В разработке вероятностных методов в теории чисел как исключительно важного инструмента исследования приняли участие Г. Харди, С. Рамануджан, П. Туран, П. Эрдёш, Г. Давенпорт, Р. О. Кузьмин, Ю. В. Лйнник, Й. П. Кубилюс, А. Винтнер, Э. Вирзинг, Г. Деланж, А. Реньи, Г. Халаш, И. Катай, Р. Форте, М. Кац, А. Г. Постников, М. П. Минеев, Б. В. Левин, Н. М. Тимофеев, А. С. Файнлейб и другие.
Одними из важных направлений вероятностной теории чисел являются исследования по теории моментов арифметических функций, нахождение законов распределения различного рода сумм, оценка скорости сходимости данных распределений к предельным распределениям.
Глава I “О распределении значений модулей неполных сумм Гаусса” настоящей диссертации посвящена распределению значений неполных сумм Гаусса.
Теорема 1.1. Пусть
х+Уь
Зь(х) = 2 х(п) е27Г'г,
п=х+1
где р — простое, (а,р) = 1, числа х,к — целые в пределах 0 < х < р и 0 < Н < р.
Обозначим через А7р{... } количество натуральных чисел 0 < х < р, удовлетворяющих условиям, которые будут указываться в скобках.

то получим соотношение
х+к р 1-1 / , . ,
єп, / ті —27!-/'1
Є Р1 X X

5= V
/Й V Р1

771<
-27гг
т3 (-п.+ав)

“і V Р»

777-1 2тггті(п+аі)
рі X X

Рз — 1/ х + 1і
»»Л у-

V Рв
га3=Ч 4 п=ж+1
Отсюда имеем следующую оценку
Рі-і р

Х+ЇІ

п=ж+1
27ггп( — )- НЬа.)
Є 4 рі Рй ’

— У'

п—х+1
2ттг Є <5
= т.
где штрих в знаке суммы по I означает суммирование по числам взаимно простым с ф.
Здесь мы воспользовались тем, что если 7тгг, 1 < г < в пробегает приведенную систему вычетов по модулю
Рг И

771,
Рз Я
, д =Щ .рв,