Арифметические свойства значений гипергеометрических функций

• Автор: Хессами Пилеруд, Татьяна Геннадьевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 83 с.

Оглавление
Введение
1 Оценки линейных форм, зависящие от всех коэффициентов
1.1 О линейных формах от значений полилогарифмов
1.2 Приближения Паде для гипергеометрических функций
1.3 Оценки линейных форм
2 О линейной независимости векторов с полилогариф-мическими координатами
2.1 Построение линейных приближающих форм
2.2 Верхние оценки остатков приближений
2.3 Доказательства теорем 3 и
3 О векторах с обобщенными полилогарифмическими координатами
3.1 Доказательство теоремы
Литература

Введение
История вопроса. Пусть (в
Хо 4” Х 4-хт0т (0.1)
где ж, - целые рациональные числа. Оценки обычно получаются в виде функции от х — тах |жг-|. Рассматривают также и формы с алгебраическими коэффициентами жц выражая оценивающую функцию через максимум высот коэффициентов. Лишь в очень немногих случаях удается получить оценки, зависящие от границ для каждого
ИЗ Ж*.
Из метрических соображений [24] следует, что при любом г > 0 для почти всех в смысле меры Лебега точек в — (в

|ж0 4- Хгвг 4

где х = тах(1,1ж4), х = тах ж*.
1 <г<т
В настоящее время не известно ни одного набора чисел в, для которого выполнялось бы неравенство (0.2). Вместе с тем для любой положительной и сколь угодно быстро убывающей функции 1р(х), х Е
Введение

II, х > 0, существуют точки 0, для которых неравенство
|®0 + х9 + + хт@т I < <р(х)
имеет бесконечное число решений X Є Zm+1.
Методы теории трансцендентных чисел позволяют получать оценки снизу для модуля величины (0.1), близкие по порядку к оценкам (0.2), при специальном выборе 9. В качестве чисел 9
/і(г)=ЕО'/і сі,п Є <3, 3 = 1 п Є N и {0},

в ненулевых рациональных точках од
Нас будут интересовать значения обобщенных гипергеометриче-ских функций.
Определение 1. Пусть оі

, . , йр

_ V (а0и (ар)п 2П
1 „=0 (Ьі)п...(Ья)п'пГ [ }
где (а)о = 1 и (а)п = а (а + 1) (а 4- п — 1) при п > 1.
При р < д этот ряд определяет целую функцию, в случае р = д+1 радиус сходимости ряда (0.3) равен 1, а в случае р > д + 1 этот ряд расходится.
Большинство специальных математических функций является гипергеометрическими функциями. Например, ег — оо( г),

(1 + г)а = ііо(—а; -г), 1п(1 - г) = -х
<х> у.п /11
Глава 1. Оценки линейных форм, зависящие от всех коэффициентов
о2 N+s дп
-Г)с13 ns „С14 ni(mIn4m+ln4)
'tl I i — '*1 e
щ!...гато!
при допустимых значениях j и s. Следовательно, для этих значений jus
Pn,j{z) < |zP'n?eeni(wln4w+ln4),
Пусть теперь ai / ft и j = 1, 0 < s < п. Заметим, что
если С € 0, то существует положительная константа сдб, зависящая только от чисел ai,0i... j3m, такая, что |£| < щ + cq. Тогда на контуре 0 имеем
m) (ßl + 0‘
(«1 + С)

< (|с| +1)... (ICI + Ю КА + О,
+ С)щ+1 ] | (ßm + C)nm+11 I («1 + С)
5+1 j
< x fa ±Sd -_Jni + c±M . 2» < „r . 2»«»
(s + 1)! (ni-s)! n2!...nTO!
< n®weni(mln4m+ln4)
и лемма доказана.
Пусть den£ 6 N обозначает знаменатель несократимой дроби С Определим натуральные числа щ, bj, b,j, aij, i,j = 1,— ,m, г j, равенствами
Gi = dena'i, bj — den ßj, 6,j = den(/3,; — ßj), = den(ai — ßj).
(1,24)
Для вычисления общего знаменателя коэффициентов многочленов Pn.j{z) 0 < j < т, нам понадобится следующая лемма, доказательство которой можно найти в [33].
Лемма 11 Пусть a,b— натуральные, 1 < а < Ъ, (a,b) = 1. Пусть

<р(Ъ) г=1 Г
(r,b)