Максимальные подалгебры р-алгебр Ли картановского типа

• Автор: Меликян, Гайк Меликович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 98 c. : ил

Одним из основных результатов настоящей диссертации является построение новой серии простых конечномерных алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики (э = • Эта конструкция возникла отчасти под влиянием планомерного изучения максимальных подалгебр в алгебрах Ли картановского типа.
Теория конечномерных модулярных простых алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем в настоящее время переживает период интенсивного развития. Основной нерешённой проблемой в этой теории, несомненно, является классификация простых модулярных алгебр Ли.
Теория простых алгебр Ли над полем комплексных чисел почти полностью была завершена к началу XX столетия с связи с изучением непрерывных групп преобразований. Эти алгебры и их естественные аналоги над произвольным полем называются алгебрами Ли классического типа.
Построенный Виттом первый пример модулярной неклассической простой алгебры Ли относится к 30-м годам. Дальнейшее развитие теории алгебр Ли шло, в основном, по следующим направлениям;аксиоматическое строение классических модулярных алгебр Ли; отыскание новых примеров неклассических простых модулярных алгебр Ли; изучение неприводимых представлений модулярных алгебр Ли.
Ввиду совершенства классификации классических алгебр над полем комплексных чисел аксиоматическая теория модулярных классических алгебр ( с постулированием основных свойств картановских разложений ) сравнительно за короткий срок была завершена Миллсом

и Г.Селигманом.

Ситуация в теории модулярных неклассических алгебр Ли в начале 60-х годов оставалась весьма сложной. А.Албертом, Н.Джекоб-

соном, Г.Цассенхаузом, М.Франк, Р.Ри, Р.Блоком и другими были построены многочисленные серии простых неклассических модулярных алгебр Ли С см. [I] ). Однако существуйте примеры не давали основания для разумного подхода к классификационной задаче. Положение коренным образом изменилось с появлением работы А.И.Ко-стрикина и Й.Р.Шафаревича [2] , в которой по аналогии с так называемыми бесконечными алгебрами Картана, играющими важную роль в геометрии, определялись четыре бесконечные серии простых |р -алгебр Ли картановского типа V/ ц , $ И/ » Ни, » К и. » в
которые укладывались все известные неклассические р -алгебры Ли при характеристике .В последующей работе [з], расширяя свою конструкцию^.И.Кострикин и Й.Р.шафаревич построили серии простых алгебр Ли, не являющихся )Э -алгебрами. Кроме инвариантного описания конечномерных простых алгебр Ли картановского типа, при некоторых дополнительных ограничениях было получено также отождествление с ними абстрактных градуированных алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем Я характеристики р >
Результаты, идеи, а также отдельные высказывания работы [з] в последующие годы стали богатым источником для исследователей модулярных алгебр Ли. Метод фильтраций и метод картановских продолжений из работы [2] заложили основу обширной классификационной программы, постепенная реализация которой продолжается по настоящее время.
Суть программы состоит в следующем. Для модулярной простой алгебры Ли X подбирается максимальная подалгебра Хо минимальной коразмерности и по ней строится неуплотняемая фильтрация [4] :
X = х.я =>х.яч =>■■■ =>Х-1 => Х0 => ^1°
Градуированная алгебра

и.чЧЛ.^ц , ц-*/«.,
называется ассоциированной градуированной алгеброй. На этом этапе возникают две взаимно связанные части классификационного подхода.
I) Классификация ^ -градуированных алгебр Ли, ассоциированных с простыми фильтрованными алгебрами.
II) Восста новление фильтрованных алгебр Ли по ассоциированным градуированным алгебрам (теория фильтрованных деформаций).
В работе [з] приведена полная классификация -градуированных алгебр Ли с условием с!ш1 ^ |э—1 при характеристике р >7.
В работах [5] , [б] приведена классификация ^-градуированных транзитивных неприводимых алгебр Ли с компонентой и о » являгадейся прямой суммой классических простых алгебр Ли. М.й.Кузнецовым [?] изучены '(-градуированные неприводимые алгебры Ли с нуль-компонентой^ являющейся суммой коммутирующих идеалов. А.Й.Кострикин [в] описал полностью ] -градуированные транзитивные неприводимые алгебры с нулевой компонентой, изоморфной алгебре Витта . Я.С.Крылюком [э] изучены (-градуированные неприводимые транзитивные алгебры с некоторыми дополнительными ограничениями на I—< и с компонентой |_0 — ® 3^2 » где ^ -ьягвбР9- ^ картановского
типа, а -произвольная алгебра Ли.
В связи со второй частью классификационной задачи А.С.Джума-дильдаевым [ю] , [п] были изучены деформации алгебр Ли кар -тановского типа, позволящие установить глубокие внутренние связи между отдельными картановекими сериями.
Предложенная А.Й.Кострикиным и И.Р.Шафаревичем конструкция картановских алгебр Ли была также развита в других работах (см.
[12] , [13] ).

подалгебр в 5и/ • Представителями этих классов могут служить
К(й = И Ц, ЛДМ),
где = < 9*. | і. а 1,к > , ( « к « п*
3. При К > 4 ,
di.nl. М(к> = Ск-0 ^л*'- С2.СК-Ч)-И.) рПН‘
при К=(, 0ІІ.Щ, М[о — (.пні 1^ - 4 •
Доказательство пунктов I и 2 следует из предложения 10 (пункт I),леммы II, с учетом того, что, если компонента приводима как |_о модуль , то 1_г -неприводим (см. [ЗІ § І.Ю )
3. Пусть /(ю = < > А0 = С Vск->) •
Предположим, что К > 1 . Согласно пункту I подалгебра МІю
— Ж(І—А0)-максимальна в Ба. Еще раз напомним, что , как векторное пространство над ^порождается дифференцированиями
Ш{[ , 1= Гм *
Поскольку, при I > К дифференцировании 0^(41) Є МоОи
- + 0ііЧ) - « е к[Хц] , »6 1[Х1(] ,
где І)* {»К , І* = К + 4 , И. + 1 ,то элементами Ьц (и) , 1=#=Ь І,]€ К. , ие к[)(і] порождается подалгебра в И(к) *
векторное пространство которого совпадает с
ШіИ-бкИ ,
где 8 к -1 “ 8 0ц си) |і.*і ) и. £ ИХ 0 > - специальная
|э -алгебра Ли. Далее, если і , ] € , нЧ и в- М(.к) ,
то 11 е Шь1 , а при I ^ К , І > К ; не содер
жит переменных из * Обозначим через -подалгебру