Исследования по проблеме погружения полей с некоммутативным ядром

• Автор: Лурье, Борис Бениаминович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 119 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Основные понятия теории погружения
51- Постановка задачи погружения полей
52. Алгебры Галуа
53. Сопутствующие задачи погружения
И- Подъем и спуск
55. Задача погружения с коммутативным ядром
6. Случай некоммутативного ядра «г
Глава 2. Условие согласности Фаддеева-Хассе
з1- Постановка задачи и необходимые определения
32. Условия согласности в форме Хассе
)3. Первая редукционная теорема
И- Вторая редукционная теорема
30. Строение скрещенного произведения
зб. Третья редукция
Глава 3. Собственные решения задачи погружения для локальных полей
з1- Редукционные теоремы
52. Исключительный случай
зЗ. Условия существования собственных решений
И- Достаточные условия погружения
)0. О теореме Кохендорфера-Фаддеева
Глава 4. Универсальная разрешимость
Глава 5. Присоединенные задачи погружения
Глава 6. Критерий неразрешимости в радикалах
уравнения простой степени
Литература

Введение
Задача погружения полей - одна из центральных теорий в теории Галуа. Будучи прямым обобщением обратной задачи теории Галуа, она в то же время является полезным инструментом при ее исследовании.
У истоков теории погружения стоят такие известные математики 30-х годов XX века, как А. Шольц [67, 68], Р. Брауэр [46], Е. Витт [73]. X. Райхардт [65]. Отчетлйвая формулировка задачи погружения была дана Д. К. Фаддеевым в [15] и X. Хассе в [47].
В послевоенные годы теория погружения интенсивно разрабатывается, и успехи в этом направлении, в основном, связаны с именами Ж.-П. Серра, X. Хассе, Д.К. Фаддеева, И. Р. Шафаревича и
их учеников. Я не ставлю здесь задачу рассказать о всех сколько-

нибудь значимых результатах в этой деятельности, но невозможно не отметить работы И. Р. Шафаревича по обратной задаче теории Галуа для разрешимых групп [39, 40], результаты С. П. Демушкина и И. Р. Шафаревича по задаче погружения для локальных полей [17] и найденные А. В. Яковлевым условия погружения в случае коммутативного ядра [42, 43, 44].
Систематическое изложение теории погружения и ее методов и основных результатов (на период написания) дано в книге [2], ставшей определенным этапом в данной проблематике (английский перевод - см. [8]| В этой книге дана и достаточно подробная библиография по задаче погружения. Это позволяет в настоящей диссертации дать библиографию в основном тех работ, которые появились после
выхода книги. (Подробная библиография работ первого послевоенного периода содержится в книге [13]).
Диссертация разбита на шесть глав. Первая глава носит подготовительный характер, содержит основные понятия теории погружения, и написана, в основном, с целью автономного чтения рукописи и единообразия терминов и обозначений. Кроме того, в ней содержится и краткий исторический обзор (вероятно, неполный).
Вторая глава посвящена изучению условия согласности для задачи погружения (в случае некоммутативного ядра). Несколько результатов автора позволили редуцировать это условие к случаю р-групп, а для числовых полей - к задаче с абелевым ядром.
В третьей главе рассказывается об условиях существования собственных решений задачи погружения для локальных полей (т.е., ко-

гда решение должно быть полем). Этот вопрос именно в случае локальных полей достаточно содержателен. Найдены необходимые и достаточные условия, при которых разрешимая задача погружения для локальных полей и р-групп имеет собственные решения. Также найдены простые достаточные условия, гарантирующие собственную разрешимость.
В четвертой главе исследуется феномен так называемой универсальной разрешимости. Достаточно неожиданным оказалось существование нерасщепляющихся групповых расширений, для которых соответствующая задача погружения разрешима для любого расширения полей с фиксированной группой Галуа. Волее того, такие групповые расширения существуют для любых неквадратичных расширений полей.
(<5 - символ Кронекера). Таким образом, элементы Ем (к,1 £ (1 £г тп}) перемножаются как матричные единицы. Поскольку, кроме того, все они - ненулевые (так как еы £ik — £кк — £к), а
У ' £кк ~ У £к
то алгебра А содержит матричную подалгебру порядка т над централизатором всех матричных единиц. Обозначим его через Z, и пусть D = eiAei. Докажем, что алгебры D и Z изоморфны.
Определим отображение Z —* D формулой z —> eze, и отобра-

жение D —> Z формулой у —>> £пУ£и (в самом деле, легко видеть,

что для произвольного х £ А сумма Ецхец коммутирует со все-

ми матричными единицами и элементы из Z отображаются при этом тождественно). Поскольку z £ Z, отображение г —» eze является морфизмом. Осталось проверить, что указанные отображения взаимно обратны, что вполне элементарно. Итак, алгебра А изоморфна алгебре матриц порядка т над D.
Предложение 2.3.3. Пусть конечномерная ассоциативная алгебра А/к содержит кольца матриц взаимно простых порядков кит, единицами которых является единица алгебры А. Тогда А является алгеброй матриц порядка кт над своей подалгеброй.
Доказательство. Пусть etJ (г, у 6 [1 -г к}) и еар (а,/3 £ [1 -г т))

системы матричных единиц, Yli=l еа ~ У2 £аР — 1- Тогда для алгебры

А имеют место два разложения в прямую сумму правых А-модулей: А = ец А ® ® А, А = £ц А ф ® £mrnA. Пусть В, В