Алгебры с полиномиальными тождествами : Представления и комбинаторные методы

• Автор: Белов, Алексей Яковлевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 384 с.

Содержание
Введение

0.1. Кольца с полиномиальными тождествами

0.1.1. Проблемы канонической формы

0.1.2. Связь с теорией инвариантов и некоммутативной алгебраической геометрией

0.1.3. Проблемы конечной базируемости

0.1.4. Структура и объем работы

0.2. Основные определения и конструкции

0.2.1. Представления алгебр

0.2.2. Линеаризации и квазилинеаризации

0.2.3. Следы и формы

0.2.4. Представления симметрической группы и супериоризация .
1. Строение базисов алгебр и комбинаторика слов
1.0.1. Комбинаторика слов конечной длины. Эффекты периодичности
1.1. Методы символической динамики и мономиальные алгебры
1.1.1. Сверхслова в алгебрах
1.1.2. Сверхслова и динамика
1.1.3. Периодичность и бесконечные слова
1.1.4. Нильрадикал и радикал Джекобсона
1.1.5. Классификация слабо нетеровых мономиальных алгебр
1.1.6. Радикал Бэра мономиальных алгебр. Первичные слова
1.2. Представления мономиальных алгебр
1.2.1. Вспомогательные конструкции
1.2.2. Многообразия мономиальных алгебр
1.2.3. Критерий представимости мономиальной алгебры
1.2.4. Представимые алгебры с трансцендентным рядом Гильберта
и алгоритмические вопросы
1.3. Теорема Ширшова о высоте и базисы алгебр
1.3.1. Оценки в теореме о высоте
1.3.2. Базисы Ширшова и структурно-комбинаторный параллелизм
1.3.3. Теорема об экстремальных словах
1.3.4. Прямое комбинаторное доказательство гипотез Шестакова и Амицура
1.4. Метод перекачки
1.4.1. Проблемы бернсайдовского типа и ограниченность высот
1.4.2. Неоднородный случай в проблеме Куроша
1.4.3. Перекачка и тождество алгебраичности
1.4.4. Разреженные тождества и перекачка
1.4.5. Оценки для высоты над множеством слов степени не выше сложности
1.5. Высота алгебр и размерность Гельфанда—Кириллова
1.5.1. Ассоциативный случай
1.5.2. Представимые алгебры общей сигнатуры

2. Многочлены Капелли и многочлены Кемера
2.1. Внутренние следы и препятствия к представимости
2.2. Представимые пространства
2.3. Утончение альтернаторов
2.3.1. Кольца с операторами
2.3.2. Размерность Гельфанда-Кириллова и ряды коразмерности .
2.3.3. Высота и курошевость для хороших многообразий
< 2.4. Нетеровы конечно порожденные PI-алгебры конечно определены .
j 2.5. Т-первичные многообразия: центральные полиномы, решение во-
! проса И. В. Львова
I 2.6. О тождествах ассоциативных алгебр в характеристике р
2.7. Тождество алгебраичности
3. Концепция экстремального идеала. Рациональность рядов Гильберта в относительно свободном случае.
3.1. Схема Кемера
3.1.1. Индукционные параметры. Сложностной тип
3.1.2. О доказательствах рациональности
3.2. Примеры экстремальных идеалов
3.2.1. Алгебра общих матриц М,,
3.2.2. Полупрямые произведения алгебр матриц
3.2.3. Многообразия мономиальных алгебр
3.2.4. Нематричные многообразия
3.3. Доказательство рациональности рядов Гильберта методом Кемера
3.3.1. Доказательство лемм Кемера
3.4. Метод А. Г. Кемера для положительной характеристики
3.4.1. Гациональность рядов Гильберта в случае положительной характеристики
3.4.2. О редукциях по простому модулю
3.5. Бесконечно порожденный случай, супералгебры и Т-пространства .
3.5.1. Гяды Гильберта для Т-пространств
4. Представления относительно свободных алгебр.
4.1. Замыкание по Зарисскому
4.2. Построение улучшенных представлений. Алгебры А, Acl и А
4.3. Структура улучшенных представлений
4.3.1. Выбор общих элементов. Алгебра компонент А. Градуировки
4.3.2. Связи между клетками. Граф Г
4.4. Графы и представления ассоциативных алгебр
4.4.1. Пути в графах. “Гашение” путей
4.4.2. Внешние и внутренние следы и формы
4.5. Язык тождеств
4.5.1. Граничные алгебры
4.5.2. Случай, когда Г состоит из одного пути. Примеры
4.6. Доказательство рациональности рядов Гильберта методами теории
представлений
4.6.1. Построение экстремального идеала
4.6.2. Завершение доказательства рациональности

4.6.3. Замечания о доказательствах представимости и конечной ба-
зируемости
4.7. Графы и свойства конечности
4.7.1. Свойства нетеровости
4.7.2. Слабо нетеровые относительно свободные алгебры
4.7.3. Конечно определенные PI-алгебры
5. Локальная конечная базируемость и локальная представимость многообразий ассоциативных алгебр
5.0.1. Применение алгебро-геометрических соображений к доказательствам представимости и конечной базируемости
5.0.2. Вспомогательные утверждения
5.1. Разносортные тождества, подстановки и метод А. В. Гришина .
5.1.1. в-техника
5.1.2. Основное комбинаторное соображение
5.1.3. Случай положительной характеристики
5.1.4. Конечная базируемость Г-пространств
5.1.5. Г-пространства и лемма Артина-Рисса
5.1.6. Многообразия сложности
5.2. Тождества в компонентах
5.2.1. Преобразование компонент
5.2.2. Связь между обычными тождествами и разносортными
5.2.3. Действие нетерового кольца на правильных членах
5.3. Построение замкнутых идеалов. Вырезающие подстановки
5.3.1. Расталкивание резервных образований. Построение правильного идеала
5.3.2. Случай, когда существенные смешанные элементы отсутствуют
5.3.3. Проблема Шпехта и некоммутативная алгебраическая геометрия
5.4. Размерность Гельфанда Кириллова, ряды коразмерности и слож-
ностные характеристики
5.4.1. Размерность Гельфанда-Кириллова для алгебры общих матриц и первичных многообразий
5.4.2. Полупрямые произведения матричных алгебр и сложностной

5.4.3. Размерность Гельфанда-Кириллова для Г-идеалов
5.4.4. Размерность Гельфанда-Кириллова и базисный ранг
5.4.5. Ряды коразмерности
5.5. Локальная конечная базируемость
5.5.1. Окончание доказательства локальной шпехтовости
5.6. Импликация: локальная шпехтовость => локальная представимость
5.6.1. Крайние элементы
5.6.2. Структура нетерова 5-модуля. Построение расширенной алгебры
6. Общие кольца и алгебры над коммутативным кольцом
6.1. Локальная конечная базируемость многообразий
6.1.1. Случай PI-колец
6.1.2. Случай не РГколец

и соответствующих пространствам, порожденных элементами вида ЕфЕрд. Каждая такая алгебра изоморфна алгебре “блочных верхнетреугольных” матриц
подалгебр, изоморфных алгебре “блочных верхнетреугольных” матриц, и порождает то же многообразие, что и любая такая алгебра. Аналогичным образом, полупрямое произведение нескольких матричных алгебр размера п, изоморфно сумме своих подалгебр, которые мы обозначаем С/(Е, сії,..., с1т). Каждая такая подалгебра задается матрицами вида:
Поэтому в дальнейшем в этой работе под полупрямым произведением алгебр матриц будем понимать подалгебру вида <1т). Легко видеть также, что
полупрямые произведения первого и второго рода порождают одно и то же многообразие.
Полупрямые произведения матричных алгебр суть минимальные конечномерные алгебры, не содержащие идеалов с нулевым пересечением с данной полупро-стой частью. Или, что то же самое, с данным сложностным типом (см. раздел 3.1.1). Имеет место следующее
Лемма 0.1 (А. СіатЬгипо, М. Ъалсе). Пусть А - конечномерная алгебра над алгебраически замкнутым полем Р нулевой характеристики. Пусть А = А + ./(А) есть разложение А в сумму полупростой части и радикала Джекоб-сона. Пусть А = А ® ■ • • ф А*, где Аі ~ М^{¥) - простые компоненты А. Если АіщА2П2 ■ ■ ■ итіАт ф 0 для некоторого т < 1 и элементов щ,..., ыт_ і из 1(А), то А содержит подалгебру, изоморфную и(¥, д,..., дт). □
Нам понадобится следующее обобщение этой леммы на случай произвольных полей.
Предложение 0.1. Пусть А - конечномерная алгебра над полем Р. Пусть А — Л + J(A) есть разложение А в сумму полупростой части и радикала Дже-кобсона. Пусть А = А ф • • • ® есть разложение А на простые компоненты. Если АіщА2П2 - ■ ■ итіАт ф 0 для некоторого т <ї и элементов щ,..., ит~і из Л,А), то А содержит набор подалгебр, изоморфных факторам полупрямого произведения (второго рода) Аі х • ■ • х Ат. При этом само полупрямое произведение Аі х • - • х Ат вкладывается в прямую сумму этих подалгебр.
Доказательство. Возьмем элементы /г;, Ъ'г є А,, не являющиеся делителями нуля в Аі. Тогда АіІііиі}і'2А2Іі2и2Іі2 ... Ііт-іитД'тАт ф 0. Положим и, — /г,щй'+1 (г = 1,... ,ш — 1) и рассмотрим подалгебру, порожденную алгебрами А, и элементами Ні. Она является фактором полупрямого произведения. Достаточно показать, что само полупрямое произведение вкладывается в сумму алгебр, которые таким образом можно построить. Пусть а,-* Є Д и

Поэтому алгебра Л я Л есть подпрямое произведение своих

О М„2 *

53 акаища2ки2 ...атк = О

для любых Уі вида гг- = )цщЬ,+1. Проверим, что тогда