Операдные и категорные методы в теории многообразий универсальных алгебр

• Автор: Тронин, Сергей Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 350 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение

Глава 1. Вербальные категории

§ 1.1. Односортный случай

§ 1.2. Дальнейшие примеры вербальных категорий

§ 1.3. Многосортный случай

Глава 2. Мультикатегории над вербальными категориями

§ 2.1. Определения и примеры

§ 2.2. Естественные мультипреобразования мультифункторов

§ 2.3. Комма-мультикатегории

§ 2.4. Алгебры над мультикатегориями

§ 2.5. Коммутативные операды
Глава 3. Операды, многообразия и тождества
§ 3.1. Абстрактные клоны и операды
§ 3.2. Свободные алгебры над операдами
§ 3.3. Многообразия многосортных алгебр
и Е5е1-мультикатегории
§ 3.4. Некоторые примеры операд и мультикатегорий
§ 3.5. Свободные операды
§ 3.6. ТУ-тождества
§ 3.7. Заключительные замечания
Глава 4. Многообразия, определяемые полилинейными тождествами
§ 4.1. Дальнейшие свойства коммутативных операд
§ 4.2. Д-линейные 17-алгебры
§4.3. Д-линейные операды
§ 4.4. Характеризация многообразий,
определяемых Д-полилинейными тождествами
§ 4.5. Д-линейные мультикатегории
§ 4.6. Случай многообразий алгебр над мультикатегориями

Глава 5. Супералгебры и операды
§ 5.1. П-супералгебры
§ 5.2. Супералгебры над операдами
§ 5.3. Характеризация многообразий супералгебр,
определяемых полилинейными тождествами
§ 5.4. Функтор оболочки
§ 5.5. Модули над супералгебрами над операдами
Глава 6. Некоторые приложения
§ 6.1. Операды графов
Нелинейные операды многомерных кубических матриц
Разложимость и неразложимость в операде
неориентированных графов
Некоторые операды ориентированных графов
Под операды операды турниров,
порожденные простыми турнирами
§ 6.2. Линейные операды многомерных матриц
§ 6.3. Операды инцидентности
§ 6.4. Операда симплексов и конвексоры
§ 6.5. Операды многомерных сфер и подобные им
§ 6.6. Операда стохастических матриц
Глава 7. Категории частных
§ 7.1. Категории частных
§ 7.2. Алгебраические теории частных
§ 7.3. Предаддитивные категории
Литература

Введение
По мнению Ю.И.Манина, “Стимулированное КТП [квантовой те-
ем в той тихой заводи, которой казалась общая алгебра” [41, с. 130]. Нижеследующий текст можно рассматривать как попытку уточнить (и отчасти по-новому обосновать) это утверждение в одном из возможных направлений.
Начнем с определения многосортного варианта понятия операды — мультикатегории. Мультикатегория — это такое обобщение категории, в котором “стрелки” (морфизмы) имеют не одно “начало” (объект), а несколько. Точное определение таково. Мулътикатегория (или Я-операда) Я есть следующий комплекс данных. Во-первых, задан класс “объектов” 5 = ОЬ(Д). Далее, для каждого непустого слова х = Х...хп в алфавите Д, и объекта у б 5, определено множество мультиморфизмов (или мультистрелок) Я(х,у). Наконец, для непустых множеств мультистрелок определена операция композиции:
Я(у1...ут,г) х Я(х, ух) X ... х Я(хт,ут) -—> Я(Щ . ..хт,г),
которая будет обозначаться следующим образом:
(а,/Зь ... ,/Зт) н» аД ... ртш = а/3.
Здесь = хцХц...Х{п., /Зг 6 Щх^уг), I < г < г п, а € Я(у... ут, г). Это можно представлять следующим образом в виде картинки:
Операция композиции должна удовлетворять следующим свойст-
1) (Ассоциативность). Для тех наборов стрелок, для которых композиции существуют (здесь 7; = 7г 1 • • • 7» щ ) j имеет место равенство:
ории поля — Авт.] возрождение теории операд было крупным событи-

а -У г
~ Ут*

(а/3х/32 ... /3m)(7i72 ■ • • 7m) = ■ ■ ■ (/Vl)

X)i=i nf(i) j a nH Ьпдд как J2i=i ni- Отметим, что при j = 1 имеются
в виду отрезки [1, П/(1)] И [пН + «Д1)-1 + 1, пн ь п/(1)].
Доказательство. Используем, кроме изоморфизма между Е5е£ и FinOrd, еще тот факт, что категория FinOrd эквивалентна категории FinSet всех конечных множеств и их отображений. Отображая с помощью этих двух эквивалентностей объект [n] Х[т] [к] в категорию FinSet, получаем множество Х={(г, j) | 1 < г < пдд, 1 < j < к}, причем 7Ti((z, j)) = ni + hПу(;-_!) + г, iT2{i)j) = j■ При обратном переходе
в FinOrd множество X отображается в объект, изоморфный объекту {1,... ,пд i)4 Ьпдц} этой категории, причем элементу (i,j) соответствует число пд 1) + • • • + + г. При последующем переходе в FSet к
этому множеству добавляется 0, и оно превращается в [пдр + • • • + пдц]. Морфизмы 7Ti и 7Г2, как нетрудно убедиться, приобретают при этом вид, указанный в формулировке леммы. □
Проекцию 7г2 = (пдф... ,пд£)) будем обозначать через а/. Преимущество такого обозначения в том, что если дано д : р] —)• [&], то a(fg) = (af)g. Проекцию тт обозначим через f*a. Заметим, что f*a есть не что иное, как подъем а вдоль / ( следуя терминологии и обозначениям из [21]). Множество [пд1) -I----Ьпдц] можно рассматривать как
результат применения функтора замены базы, то есть как /*[п].
Определение 1.1.1. Рассмотрим подкатегорию W С FSet со всеми теми же объектами [п], морфизмы которой должны удовлетворять следующим условиям:
1) Если f,g Е Mor{W), то / LI д Е Mor{W)
2) Если /:[&]—» [т] есть морфизм из W, то для любого а Е Р(п,тп) имеет место f*a Е W(f*[n], [п]).
Категорию W с указанными выше двумя свойствами будем называть вербальной.
Укажем несколько очевидных примеров вербальных подкатегорий.
1) Тривиальная категория WId, морфизмы которой — тождественные отображения вида [гг] —> [гг] для всех п = 0,1,2,