Прямые разложения абелевых групп конечного ранга без кручения, принадлежащих некоторым классам

• Автор: Лебединский, Дмитрий Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 74 с.

Введение
Как известно, одной из фундаментальных теорем алгебры является теорема Крулля-Шмидта.
Теорема 1 Любые два разложения некоторого модуля в прямую сумму подмодулей с локальными кольцами эндоморфизмов изоморфны.
В частности, если мы рассматриваем модули конечной длины, то локальность кольца эндоморфизмов эквивалентна неразложимости, и теорема Крулля-Шмидта дает единственность разложения на неразложимые слагаемые.
Естественно было пытаться обобщить эту теорему, в частности на случай абелевых групп без кручения (хотя бы конечного ранга), однако Ионсон [14], а затем Корнер [10] нашли ряд примеров неединственности таких разложений. Также ряд примеров содержится в статье [12].
Теорема 2 (Корнер) Пусть даны натуральные числа п и к, причем п > к. Существует абелева группа без кручения А ранга п со следующим свойством. Для любого разбиения числа п на к натуральных слагаемых гг- > 1, п — г + 4- Гк, найдется прямое разложение
А = А ф ф А);, где Аі — неразложимая группа ранга щ.
Для восстановления единственности Ионсон [15] предложил понятие изоморфизма заменить понятием квазиизоморфизма.
Здесь и далее везде слово группа означает абелева группа конечного ранга без кручения.
Пусть А ж С — группы, лежащие в одной и той же делимой группе. Мы говорим, что А квазивложена в С (и пишем А -< (7), если найдется такое натуральное гг, что пА С С. Группы А ж С квазиравны (А « С), если А -< С и С А.

Группы квазиизоморфны, если они изоморфны квазиравным подгруппам некоторой делимой группы. Если А га С®- -фСк, то А называется квазипрямой суммой групп Са каждая группа С г — квазипрямым слагаемым А. Группа называется сильно неразложимой, если она не раскладывается в квазипрямую сумму нетривиальным образом.
Теорема 3 (Ионсон) Пусть А — группа и имеют место квазиравенства
А га Ах ф ® Ат га С ф ф Сп
с сильно неразложимыми группами Аг и Ср Тогда т = п и при подходящей перенумерации Аг квазиизоморфно С, для всех г.
В связи с отсутствием единственности в прямых разложениях в традиционном смысле, Фукс сформулировал в своей книге [6] ряд проблем, касающихся прямых разложений.
Проблема 67(Фукс) При данном натуральном числе г > 3 найти все последовательности щ < < п8 натуральных чисел, для каждой из которых существует группа ранга г, обладающая разложениями на п
Проблема 68 (Фукс) Пусть даны такие натуральные числа г-1
вия, при которых существует группа, обладающая прямыми разложениями на неразложимые слагаемые рангов п
Проблема 69 (Корнер) Существуют ли группы конечного ранга, обладающие бесконечным числом попарно неизоморфных прямых разложений?
Проблема 69 была решена отрицательно Е. Л. Лэди в статье [16]. Проблемы 67 и 68 были решены Благовещенской и Яковлевым в статьях [1], [3], [8], [2].
Теорема 4 (Благовещенская) Пусть 1 < п < п% < <
пв < п — натуральные числа. Для того, чтобы существовала абелева группа ранга п, допускающая разложения в

прямую сумму п неразложимых слагаемых, неразложимых слагаемых,
Теорема 5 (Благовещенская, Яковлев) Пусть есть два набора натуральных чисел г
Пытаясь понять причины неединственности прямых разложений, А. В. Яковлев [7] разработал теорию, устанавливающую связь между прямыми разложениями групп и разложениями векторов в конусах в решетках. Эта теория позволяет существенно упростить построение примеров групп с определенными аномалиями в прямых разложениях, а также получение других результатов о прямых разложениях.
Настоящая диссертация продолжает исследование прямых разложений абелевых групп без кручения конечного ранга. Целью настоящей работы является перенесение на случай групп из некоторых классов результата Благовещенской и Яковлева и вычисление отображения факторизации по радикалу на полугруппе конечно порожденных проективных модулей над кольцом эндоморфизмов почти вполне разложимой

Доказательство. Предположим, что V разложим и V — ненулевое слагаемое этого разложения. Тогда если некоторая компонента вектора V больше нуля, то, в силу неразложимости частей этого вектора, покрывающих данную компоненту, во-первых, эта компонента равна соответствующей компоненте V, и, во-вторых, все компоненты, покрываемые этими частями, также равны соответствующим компонентам V, и вообще, если какая-либо компонента V равна соответствующей компоненте V, то все компоненты, покрываемые теми частями V,, которые покрывают эту компоненту, также совпадают с соответствующими компонентами V. Так как части у* связно покрывают вектор V, это означает, что все компоненты V совпадают с соответствующими компонентами V, т.е. разложение тривиально. \
2.6 Построение разложений по простым числам в случае г < п — < +
Итак, пусть у нас есть две таблицы А и В, построенные в теореме 16. Обозначим соответствующие этим таблицам разложения через а и Ъ соответственно, а сумму строк любой из этих таблиц — через V. В этом параграфе все выписываемые разложения — разложения вектора V. Наша задача в этом параграфе — построить разложения ер вектора V, вписывающиеся в разложения а и 6, и доказать неразложимость векторов разложений а и Ь относительно индуцированных разложений.
Мы построим для каждого неединичного вектора каждого из разложений а и Ь свой набор разложений ер и вписываний их в а и 6 такой, что этот вектор будет неразложим.
Пусть а = (ух,