Инвариантные упорядочения в однородных пространствах простых групп ЛИ

• Автор: Константинов, Алексей Леонидович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 54 с. : ил.

Содержание
1 Введение
1.1 Исторический очерк и формулировка основных результатов
1.2 Предварительные замечания
2 Групповые инвариантные упорядочения
2.1 Основной критерий
2.2 Связь с результатами Ольшанского
3 Инвариантные упорядочения на флаговых
многообразиях
3.1 Инвариантные упорядочения на односвязном накрытии границы Шилова симметрической области
3.2 Случай произвольного флагового многообразия
4 Инвариантные упорядочения на
несимметрических неприводимых однородных
пространствах
4.1 Теория Ф.И.Карпелевича о вложении вещественных алгебр Ли
4.2 Полный список вещественных неприводимых однородных пространств
4.3 Доказательство теоремы классификации

1 Введение
1.1 Исторический очерк и формулировка основных результатов
Понятие инвариантного упорядочения встречается во многих областях современной науки. В хроногеометрии рассматриваются причинные структуры: на многообразии Лоренца в каждой точке непрерывным образом выбирается один конус из пары противоположных конусов времениподобных векторов. Возникает естественная задача: можно ли соединить две данные точки непрерывной причинной кривой (направленной в будущее), то есть кривой, касательный вектор к которой в каждой точке лежит в выбранном конусе.
В геометрической теории управления рассматривают систему, состоящую из точек дифференцируемого многообразия и множества управляющих векторных полей на нём. Основная проблема этой теории сотоит в описании множества достижимых состояний в будущем, стартуя с фиксированного состояния. В касательном пространстве каждой точки многообразия можно рассмотреть конус, являющийся выпуклой оболочкой всех векторов управляющих векторных полей. Получившееся поле конусов задаёт причинную структуру на многообразии и связанное с ней упорядочение.
Часто в вышеприведённых примерах бывает, что на многообразии действует некоторая непрерывная группа, тогда среди всех упорядочений естественно рассмотреть те, которые сохраняет данная группа. Так мы приходим к понятию инвариантного упорядочения. Пусть теперь группа Ли (Т действует на дифференцируемом многообразии X.

Возникает задача описания всех инвариантных упорядочений (причинных структур) на многообразии, а также связанного с ними множества 5'’ = {д Е Сдхо х, хо Е X}. Это множество является полугруппой и однозначно определяет упорядочение. Поэтому теория полугрупп играет ключевую роль в решении задач связанных с причинными структурами и теорией управления.
Также как и для изучения групп Ли полезно отталкиваться от свойств касательных к ним алгебр Ли, для изучения структуры полугрупп хорошо ввести некоторый инфинитезимальный объект. С каждой подполугруппой 5 группы Ли можно связать касательный конус С(5) в касательной алгебре. Максимальное векторное пространство СП (—С), содержащееся в С, очевидно, является подалгеброй Ли, конус С инвариантен относительно АЛ охр (С П (—С)). Полугруппы, которые можно однозначно восстановить по касательному конусу, называются полугруппами Ли. Отметим, что не каждому инвариантному конусу соотвествует нетривиальная полугруппа Ли.
Впервые полугруппы преобразований появились в классических работах С. Л и в приложениях, связанных с теорией дифференциальных уравнений. Систематическое изучение подобных объектов началось в работах Лёвнера [24]. Он рассматривал полугруппы отображений единичного диска в себя, как инструмент в геометрической теории функций. В конце 70-х подполугруппы групп Ли появились в задачах теории управления [22,23,28]. Винберг в работе [1] рассматривает подполугруппы эрмитовых групп Ли, которые топологически порождаются любой своей окрестностью единицы. В это же время появляются работы Ольшанского [10,11], в которых подполугруппы групп Ли используются

Таблица

1 Й 1 Й

7 Й 7 й

<м см 1й СО

2 сг| 1
1 о ] - 7 с

с* «) + счТч
и « п. и

С1сч и £[П
о- 7ч
ы <ч ы
_й )_й
<1? 7ч

СО Д со_
<*> сГ
и 5*
ч. и>
со о и
«> *2
сч о
00 Ч>

§ “> и и м в
I—I Г2

ю *г
со О О

“ и с?
П со °

СТ- сч

2 °е а «