Теоретико-модельные и алгебро-геометрические задачи для нильпотентных частично коммутативных групп

• Автор: Мищенко, Алексей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Омск
• Количество страниц: 109 с. : ил.

Оглавление
Введение

Предварительные сведения

Частично коммутативные нильпотентные Д-группы

1 Выполнимость формул на частично коммутативных ниль-потентных группах

1.1 Экзистенциальные формулы

1.2 Операции на графах

1.3 Случай линейного графа

1.3.1 Т - дерево

1.3.2 Т - произвольный граф

1.4 Случай цикла без диагоналей

1.4.1 Т - /-циклический граф
1.4.2 Т - произвольный конечный граф
1.5 Произвольный случай
2 Структура централизаторов для частично коммутативных двуступенно нильпотентных групп
2.1 Предварительные сведения
2.2 Лемма о централизаторе
2.3 Параболические и квазипараболические подгруппы
2.4 Критерий когда квазипараболическая подгруппа является централизатором

3 Элементы алгебраической геометрии над частично коммутативной двуступенно нильпотентной группой
3.1 Универсальная эквивалентность
3.1.1 Универсальная теория
3.1.2 Категория С-групп
3.1.3 Доказательство теорем об универсальной эквивалентности
3.2 Элементы алгебраической геометрии над группами
3.3 Геометрическая и универсальная геометрическая эквивалентности
3.4 Описание алгебраических множеств
3.4.1 Системы от одной переменной
3.4.2 Системы от нескольких переменных
Список литературы

Введение
Интерес к частично коммутативным группам вызван многими замечательными свойствами этих групп. К этим свойствам можно отнести удобные нормальные формы, разрешимость большинства алгоритмических проблем, богатую подгрупповую структуру. Частично коммутативные группы естественным образом возникают во многих разделах математики, в частности в компьютерных науках. Хорошим введением в теорию частично коммутативных групп могут служить статьи обзорного характера [26, 19].
Частично коммутативная группа полностью определяется заданием конечного неориентированного графа Г (без петель и кратных ребер) с множеством вершин X — {жх
/'г = (Х| = Х1 -ФФ- (Хг,Х е Е(Г)),
то есть, соотношение коммутативности между порождающими элементами имеет место тогда и только тогда, когда вершины ж, и х соединены ребром в графе Г. Свободную частично коммутативную группу часто также называют частично коммутативной группой.
Частично коммутативные группы линейны [29]. В [21] доказано, что частично коммутативные группы изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны их графы. В [33] найдено множество порождающих для группы автоморфизмов частично коммутативной группы. В [22] описаны центра-
Предложение 1.1 Пусть граф Т - элементарное раздутие первого рода графа Т. Тогда формула ф(Т) выполнена на группе Сф, тогда и только тогда, когда формула ф{Т) выполнена на группе Сф.
Доказательство Пусть формула ф(Т) выполнена на группе (ф, т.е. Зрь ... ,дь Є СФ на которых выполняется формула ф(Т). Докажем,, что найдутся такие элементы ді
Пусть при элементарном раздутии первого рода графа Т, добавили вершину Vі эквивалентную V. Пусть вершине V соответствует элемент й Є С Г-Тогда вершине у' можно сопоставить элемент дф1, где щ Є а 1, а всем остальным вершинам те же элементы, которые им соответствовали. Таким образом, мы построили систему из к + 1 элемента группы Сф на которых понятным образом выполнена формула ф(Т).
Обратно. Если формула ф(Т) выполняется на группе Сф, покажем, что и формула ф(Т) выполняется на группе Єу. Формула ф(Т) будет выполняться на тех же элементах группы Сф, что и формула ф(Т), кроме одного добавленного при элементарном раздутии первого рода.
Определение 1.4 Будем говорить, что граф Т получен из графа Т элементарным раздутием второго рода, если существует ребро е Є Е(Т) и вершина Д) Є У{Т) такие, что граф) Т отличается от графа Т только па вершину Уо и множество ребер {г>отД ж* €= {ді,гДу}, где у и у-} -вершины ребра е. (См. Рис. 1.2).
Как и в случае элементарного сжатия первого рода, определим аналогичным образом элементарное сжатие второго рода, как операцию обратную к элементарному раздутию второго рода. Нетрудно понять, что к конечному графу Т можно применить лишь конечное число элементарных сжатий второго рода.