Проблемы распознавания разрешимости уравнений в нильпотентных группах

• Автор: Репин, Николай Иванович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 83 c. : ил

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Глава I. УРАВНЕНИЯ В НИЛЬПОТЕНТНЫХ ГРУППАХ МАЛОЙ СТУПЕНИ

§1.1 Уравнения с одной неизвестной в конеч но-определённых нильпотентных группах ступени
§1.2 Уравнения с одной неизвестной в конеч но-определённых нильпотентных группах ступени $

Глава 2. УРАВНЕНИЯ В СВОБОДНЫХ НИЛЬПОТЕНТНЫХ ГРУППАХ

§2.1 Уравнения в свободных нильпотентных группах ступени с^З

§2.2 Некоторые технические леммы

§2.3 Уравнения с одной неизвестной

в свободных нильпотентных группах

ЛИТЕРАТУРА

Первые работы, посвящённые алгоритмическим проблемам для конечно-определённых нильпотентных групп, принадлежат А.И.Мальцеву и Р.Линдону. Или построен алгоритм для распознавания равенства слов в конечно-определённых нильпотентных группах (см. С5} и [203 ). В дальнейшем, с помощью финитной алроксимируемости А.И.Мальцевым был построен алгоритм для распознавания вхождения в конечно-порождённые подгруппы конечно-определённых нильпотентных групп (см. [6] ). Блэкберн в работе [15) доказал финитную апроксимируемость относительно сопряжённости конечно-определённых нильпотентных групп. Это позволило ему построить алгоритм для распознавания сопряжённости в конечно-определённых нильпотентных группах. Недавно доказано, что в классе всех конечно-определённых нильпотентных групп положительно решается алгоритмическая проблема распознавания изоморфизма групп (см [163, [.173 )• Многие алгоритмические проблемы получили положительное решение и в классах групп, являющихся естественными обобщениями класса конечно-определённых нильпотентных групп (см.»например, [3] ).
Небезуспешными оказались и попытки отыскания алгоритмически неразрешимых проблем, связанных с конечно-определёнными нильпотентными группами. Так, А.И. Мальцевым в работе [7] была доказана алгоритмическая неразрешимость элементарной теории каждой неабелевой свободной нильпотентной группы. В последствии, Ю.Л. Ершовым был даже найден необходимый и достаточный критерий алгоритмической неразрешимости элементарной теории конечно-определённой нильпотентной группы. А именно, он показал, что элементарная теория конечно-определённой нильпотентной группы разрешима тогда и только тогда, когда эта группа почти абелева (см. [2] ).
Однако, долгое время не удавалось найти никаких более простых алгоритмически неразрешимых проблем для конечно-определённых нильпотентных групп. Большое влияние на исследования в этой области оказало отрицательное решение Ю.В.Ма-тиясевичем в 1970 году десятой проблемы Гильберта (см. 183 и [91 ). Появилась возможность применить восходящий к Мальцеву и Блэкберну метод моделирования диофантовых уравнений в нильпотентных группах.
В 1977 году В.А. Романькову удалось разыскать на этом пути естественную алгоритмически неразрешимую теоретико-групповую проблему. Оказалось, что для свободных нильпотент ных групп счётного ранга и ступени > 9 алгоритмическая проб лема распознавания эндоморфной сводимости элементов имеет отрицательное решение. Эта проблема состоит в построении алгоритма, который по двум произвольным элементам ^ и К, группы С распознаёт наличие эндоморфизма с£; & —► (* > переводящего элемент ^ В элемент Ьу
Непосредственным следствием из этого результата является следующая теорема.

ром среда всех базисных коммутаторов веса 4. Следовательно 1Я0, [Л, а ,11,6, - базисный коммутатор. Его вес ра-

ъ*МЛ.а, 4»Л1 = - ^ * «ъ-1.
Если Е - некоторый базисный коммутатор веса 4 8 такой, что Е > 1^лЛ,и , то
< I Е , Л.аЛ.И>У«=ъ ‘ьа
Итак, ш доказали утверждение леммы для к = о и 1 . Предположил теперь, что утверждение леммы доказано для некоторого I . Докажем его для с+1 . Пусть
С < *0 . Имеем:
= 14ОСО . Сксск^1
Из неравенства >сс**. следует, что • Кроме того,
шлеем С^ . Следовательно, по предположению индукции, и Ц^СС.^ базисные коммутаторы. При этом, из
неравенства Скл1<сь вытекает, что и сск^ < •
Поэтому для того, чтобы доказать, что является
базисным корлмутатором, нужно только доказать, что комму-татор не может иметь вида -'и.,тг^ , где
пг > ^ СС ^ • Если это не таре, то О
ик СМ *^и.чп >. М'И >' .

>. ^ V с - зь #
ск 4 ъ - М - I
Но сс> 4 & . При к 1 . Следовательно <о ,
чего быть не может.
Показано, что базисный коммутатор. Вес его,