Проблема вхождения в естественные подгруппы конструктивных групп

• Автор: Латкин, Иван Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 75 с.

Оглавление.
Глава І.Введение
§1.1 Необходимые сведения из теории групп и общей теории алгебраических систем
1.1.1. Классические группы и подгруппы (5), 1.1.2. Обозначения многообразий (7)
§ 1.2 Общие сведения об иерархии классов нумерованных алгебр
1.2.1. Х°п,П0п,Л0п-нумерованные алгебры (8), 1.2.2. Проблема равенства и конструктивизируемость, тезис Чёрча (10), 1.2.3. алгоритмическая сложность проблемы вхождения (И)
§ 1.3. Общие факты о проблеме вхождения, связь с
конструктивизируемостью и результаты автора
1.3.1. Проблема вхождения и конструктивизируемость факторов (12),
1.3.2. Проблема вхождения в коммутанты (13), 1.3.4. О постановке алгоритмических проблем для многообразий групп (15)
Г лава 11. Алгоритмическая сложность проблемы вхождения в
коммутанты и централы
§2.1 Нильпотентная группа, у которой проблема вхождения в централы
зависит от конструктивизации
Теорема 2.1.1.(18), Теорема 2.1.2 (20)
§2.2. Нильпотентная группа, у которой проблема вхождения в
централы не зависит от конструктивизации
Теорема 2.2.1. (21), Замечание о табличной сложности проблемы вхождения (29).
§2.3. Проблема вхождения в третий коммутант для
разрешимых групп
Теорема 2.3.1.(30), 2.3.1. Построение группы ві* (30),
2.3.2. Доказательство теоремы 2.3.1. (34)
Глава III.Алгоритмическая иерархия нильпотентных
групп без кручения
§3.1 О конструктивизируемости нильпотентного произведения
Предложение 3.1.1.(40), Теорема 3.1.1. (42).
§3.2. Иерархия нумерованных групп квазимногообразия N0,
Теорема 3.2.1. и её следствие (41).
Г лава IV. Проблема вхождения в ступенчатые модули и
алгоритмические проблемы для разрешимых групп
§4.1. Обобщенная лемма Романовского
4.1.1. Лемма Романовского (48), 4.1.2.Постановка задачи и возможные применения (47), 4.1.3.Условие (А) (49),
4.1.4. Степени и их нахождение (50), 4.1.5. Обобщённая лемма Романовского (51), 4.1.6. Следствие (57).
§4.2. Проблема вхождения в ступенчатые модули
4.2.1. Предположения об основном кольце (57), 4.2.2.Необхо-димые сведения об операторных алгоритмах (58),
Предложение 4.2.1 .(5), 4.2.3. Несбывшиеся мечты (62),
4.2.4.Применения к доказательству теоремы 2.3.1. (62).
§4.3. Неразрешимость проблемы вхождения для
подмногообразий многообразия 1Ч2А
4.3.1.Теорема 4.3.1. и её следствия (63), 4.3.2.-5. Построение вспомогательной группы и её свойства (64), 4.3.6. Построение искомой группы (67), 4.3.7.Сведение к проблеме вхождения
в ступенчатые модули (70), 4.3.8.3амечание (70).
Список литературы
Работы автора п^теме диссертации

Глава I. Введение.
Проблема вхождения в конечно порождённые подсистемы, также как и проблема равенства (тождества) слов для конечно определённых систем в некотором многообразии алгебр относится к классическим проблемам алгебры, им посвящено большое количество публикаций. Работы [12,13,19,21-24,26-29,34,35] - очень малая их часть, они выделены лишь потому, что соприкасаются с рассматриваемыми в диссертации вопросами. Естественным обобщением конечно определённых систем, являются алгебры с рекурсивным множеством определяющих соотношений. А. И. Мальцев в [14] сделал следующий шаг в этом направлении - введены позитивно и негативно нумерованные алгебраические системы, а те из них в которых разрешима проблема равенства названы конструктивными.
В связи с этим возникли вопросы о конструктивизируемости алгебраических конструкций - прямых и свободных произведений, пополнений и расширений, факторизаций и т. п. Одним из первых классов алгебраических систем, для которых рассматривались нумерации были группы, из-за многообразного спектра их применений - от почти всех математических теорий до физических, с одной стороны, и ввиду того, что группы - относительно хорошо изученный класс, с другой стороны. С точки зрения абстрактной математики группы привлекательны относительной простотой определения -всего три аксиомы, которые тем не менее позволяют получить обширную и содержательную теорию.
Проблема вхождения в естественные, определяемые в рамках абстрактной теории групп, подгруппы, такие как коммутанты, централы, гиперцентры, периодическая часть и т. п., интересна по меньшей мере по двум причинам. Первая это то, что группы из многих важных классов, таких как абелевы, нильпотентные, без кручения и т.п., получаются факторизацией подходящих групп по этим естественным подгруппам. А проблема вхождения в нормальную подгруппу, тесно связана с конструктивизируемостью фактор-
(М х М), где М=^ШВ, М = М и группа в] конечно определенная. Группу О мы в дальнейшем отождествляем с подгруппой Н К М группы О]. Теперь
образуем свободное произведение О]* (л , где (л =С (порождающие и подгруппы группы (л обозначаем теми ^ке буквами, что и у группы О, но с «крышечками»). Декартова подгруппа |р[Оь0] свободного произведения С, *6—свободная группа с базисом {[в, Й ]}| {1}} [7,9]. К
соотношениям группы О[ * (л добавим следующие соотношения:
a) показывающие, что [Н,Н] = [Н,М] = [Мх М, Н] = [М, М] = 1;
b) показывающие, что §р( МиМ) — двуступенно нильпотентное произведение групп М, М, т.е. соотношения, показывающие, что gp[M, М]г>
Уз (М*М) = у3(М*М) = 1.
Полученную группу обозначим через V, это — «смешанное» произведение групп 01*(л, оно частично прямое, частично нильпотентное. Вопрос о конечности соотношений группы V решим ниже. Так как в свободном произведении групп любой свободный множитель имеет тривиальное пересечение с декартовой подгруппой, а gp[H,H], рр[Н, М ], gp[M х М, Н],
у3(М*М), gp[M, М] — подгруппы группы gp[Gl,G], то группы О(,О, (а значит, и группа О) изоморфно вкладываются в группу V. Далее рассматриваем эти группы и все их подгруппы как подгруппы в V.
Достаточно просто доказывается, что V = (Нх Н ) К (Мх( М *2 М)) и,
следовательно, группа V принадлежит многообразию ^А2. Группа gp[M, М ] — свободная абелева в случае Ы= Ъ или свободная абелева р-группа (при Л - Ър), ее базис — {[а ,а] | а — элемент из базиса М, а - элемент из базиса М]. Вследствие наличия рекурсивных базисов в группах М,М свободный базис группы gp[ М, М ] можно выбрать рекурсивным. Из того, что V =