Представления конечных групп и проблема распознаваемости

• Автор: Заварницин, Андрей Витальевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 122 с. : ил.

Оглавление
1 Введение

§1 Общая характеристика результатов работы

1.1 Постановка задачи и актуальность темы диссертации

1.2 Основные результаты диссертации

1.3 Научная новизна

1.4 Теоретическая и практическая ценность

1.5 Методы исследования

1.6 Апробация работы

1.7 Публикации

1.8 Структура и объём диссертации

2 Распознавание по спектру почти простых групп
§1 Основные результаты главы
1.1 Краткий обзор
1.2 Формулировка основных результатов
§2 Распознавание по спектру групп Ьз(д)
2.1 Предварительные замечания
2.2 Вспомогательные результаты
2.3 Доказательство основной теоремы
§3 Веса неприводимых 8Ь3(д)-модулей в характеристике определения
3.1 Предварительные замечания
3.2 Неприводимые ЭЬз(-модули
3.3 Веса неприводимых модулей
3.4 Приложение
§4 Распознавание по спектру групп и3(<у)
4.1 Вспомогательные результаты
4.2 Представления Вейля группы 8113(д)
4.3 Спектр автоморфных расширений
4.4 Доказательство теоремы

ОГЛАВЛЕНИЕ
§5 Распознавание симметрических групп степеней г и г + 1 для
простого г
5.1 Предварительные замечания
5.2 Вспомогательные результаты
5.3 Доказательство основной теоремы
3 Порядки элементов в накрытиях простых групп
§1 Основные результаты главы
1.1 Вводные замечания
1.2 Краткий обзор результатов главы
1.3 Формулировка основных результатов главы
§2 Спектр накрытий групп 1Д(д) в случае п > р
2.1 Предварительные результаты
2.2 Доказательство основных результатов
2.3 Приложение
§3 Спектр накрытий групп ЬДд). Общий случай
3.1 Предварительные результаты
3.2 Веса неприводимых БЬДТД-модулей
3.3 Доказательство основных результатов
§4 Исключительное действие групп ЬДд) в характеристике определения
4.1 Вспомогательные утверждения
4.2 Доказательство основного результата
4 Распознаваемость по графу простых чисел
§1 Обзор основных результатов главы
§2 Доказательства
2.1 Вспомогательные утверждения
2.2 Линейное действие некоторых групп
2.3 Представление графа простых чисел
2.4 Группа Д
2.5 Группа 6'г(7)
2.6 Группы 2б?2(Д)
2.7 Мо
2.8 Группа Гз(7)
Список обозначений
Предметный указатель
Литература
Глава
Введение
§1 Общая характеристика результатов работы
1.1 Постановка задачи и актуальность темы диссертации
Множество порядков элементов конечной группы несёт большую информацию о её строении. Классическим примером, иллюстрирующим глубину связи между периодом и строением конечной группы, является стоявшая открытой более 60-ти лет ослабленная проблема Бернсайда. Из положительного решения этой проблемы [10, 6, 7] следует, что число конечных групп данного периода с данным числом порождающих конечно, а значит, ограничено их строение. Другим важным примером является теорема Фейта-Томпсона [39], утверждающая, что конечная группа без элементов порядка 2 является разрешимой.
В постклассификационной теории конечных групп порядки элементов стали играть заметную роль в проблемах распознаваемости по арифметическим свойствам. Когда возникли первые примеры групп, однозначно характеризуемых по совокупности порядков своих элементов, естественно возникла задача нахождения и изучения всех групп, обладающих этими или близкими свойствами.
Как оказалось, проблема распознаваемости потребовала применения самых современных знаний и методов, таких как свойства автоморфизмов и подгруиповое строение конечных простых групп и групп лиева типа, связь этих групп с линейными алгебраическими группами, теория обыкновенных и модулярных представлений. Настоящая диссертация предлагает новые и опирается на уже известные результаты из всех этих областей, однако больший акцент сделан на приложение методов теории представлений к вопросам распознаваемости.
Приступим теперь к более конкретному изложению основной проблемати-

ГЛАВА 2. РАСПОЗНАВАНИЕ ПО СПЕКТРУ ПОЧТИ ПРОСТЫХ ГРУПП

при 2 г п, где —1 стоит на г-м и (п + г)-м месте. Тогда £Р+Р1С — вр + '21=28р+рі ак как вр+Рі > вр ПРИ * 2, то элементы Мо справа от диагонального элемента в позиции (р + р,р) равны нулю, т. е. матрица Мо нижнеунитреугольная.
Формула размерности теперь легко выводится, поскольку сюръективность влечёт равенство сііт Уа]} = сіті Баъ — <3іт Ба-іі, где сііт 5- — АДг)ІУ'(у) и іУ(і) = (г+"_1) ” число мономов степени £ от п переменных. А
Заметим, ЧТО, вообще говоря, отображение Са,Ь может не быть сюръективно. Например, в характеристике р — 2 тензор х2Д Є £ід не лежит в образе
Следующая лемма показывает, что в некоторых случаях ТС-модуль ИДь содержит подмодуль, изоморфный модулю Ига1р при а! < а, Ь' < Ь.
Лемма 2.3.4. Пусть 0 < т а,Ь. Еали р т(а + Ъ — т + п — 1), то
Уа—т,Ь—т£ С Ифд — 0. В ТЬрОТНибНОМ СЛуЧОб Ид г_гп_гп£ Ф ИД
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть в € Ба-т,ъ-т Сначала покажем индукцией по т, что
Очевидно, можно считать, что я = и® и — мономиальный тензор, где и С Б и и € Б*. Если т = 1, то, используя формулу (2.7), имеем
вє( = («е)( = (з()е + з(еС) + (Хг ® и)((и 0 Хі) + У(и 0 Хі)((Хі 0 и)
Для произвольного т по индукции получаем
8£т( = (вв™-1) = (в£т_1С)£ + {а + Ь + п- 2)5£т
(з££т_1 + (т — 1)(а — 1 + Ь — 1 — то + п)8£т~2)е + (а + Ь + п — 2)5ето
5-()£т + т(а+Ь — т + п— 1 )зет_1.
Теперь если в € Иф-т.б-т, то й£( = 0 и формула (2.11) примет ВИД 3£т( = 7п(а + Ь — т + п — 1)з£т_1. Следовательно з£т лежит в ИД?, тогда и только тогда, когда либо р т(а + Ъ — т + п — 1) либо з = 0. А
Сгд-
5£тС = <єт + г?і(а + 6 — ш + п — 1)з£т—1.
(2.11)