О рациональных множествах в разрешимых группах

• Автор: Баженова, Галина Александровна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Омск
• Количество страниц: 61 с.

Содержание
Введение
Содержание диссертации
I Основы теории рациональных множеств в группах
1 Основные определения
2 Связь двух определений рациональности
3 Множества решений уравнений в к. п. нильпотентных группах
II О классах рациональных подмножеств групп, замкнутых относительно пересечения и дополнения
4 Абелевы группы
5 Полициклические группы
6 Метабелевы группы
III О классе групп, рациональные подмножества которых — булевы алгебры
7 Свободные произведения
IV О разрешимых группах типа РРоо
8 О почти абелевости некоторых разрешимых групп типа
РРоо
Литература

Введение
Изучение конечных автоматов и рациональных (регулярных, распознаваемых) множеств началось в 50-х годах XX века в работах [1], [2], [3], [4]. Стимулом и своеобразным ’’социальным заказом” послужило начало развития вычислительной техники. Понятие конечного автомата близко также таким областям интеллектуальной деятельности, как лингвистика, философия, биология (в которых они часто используются для моделирования). Для математики в данный момент конечные автоматы и рациональные множества — это хорошо известные и привычные объекты теории полугрупп (также хорошо известна параллель между этими объектами, которая устанавливается классической теоремой Клини) — см., например, монографии [5], [6], [7]. Однако классическая теория полугрупп ограничивается изучением рациональных множеств и конечных автоматов в свободных моноидах, хотя определения этих понятий естественно переносятся на случай произвольного моноида (в частности, группы). Идея использования конечных автоматов (причем в разных пониманиях) в данный момент актуальна для теории групп, и работы, связанные с этой тематикой, вызывают большой интерес. Например, известны понятия рациональной структуры, автоматной и биавтоматной структур, комбингов (’’причесываний”) на группе и др.; возникла новая содержательная теория — см., например, [8], [9], [10]. Однако в рамках этого подхода также рассматриваются лишь рациональные подмножества свободных моноидов, а связь с группой реализуется с помощью понятия ’’выбор порождающих”. Эта связь, на наш взгляд, не всегда адекватно отражает то, что происходит непосредственно в группе. Например, в рамках данной теории определение рационального подмножества группы зависит от рациональной структуры на группе и не инвариантно относительно ее выбора. Кроме того, оно имеет смысл лишь в

конечно порожденных группах. Тем более естественно изучать рациональные подмножества групп в смысле непосредственного определения. В этой области лучше всего изучены свободные группы. Отмстим, например, такие работы, как [11], [12], [13]. Данная диссертация также следует этому подходу. Однако в ней более подробно изучаются не свободные группы, а разрешимые.
Вначале расскажем более подробно о том, что такое конечные автоматы. Пусть задан некоторый конечный алфавит А (то есть просто некоторое конечное множество). Его элементы будем называть буквами и обозначать символами а,Ь,с
А. В частности, словом является (единственная) пустая последовательность, которую обычно обозначают е. Множество всех слов алфавита А обозначается А*. Число п — это длина слова а - ап, длина пустого слова — нулевая. Длина слова и) £ А* обычно обозначается |ги|. На множестве А* х А* пар слов из А* определена операция конкатенации, или ’’склеивания”: из двух слов гн = а ап, V = 61 Ьт она конструирует новое слово гт — а 1 апЪ 1 -Ьт длины т + п = ]ге| + |и|. Ясно, что эта операция ассоциативна, и слово нулевой длины е является единицей относительно этой операции: для любого ъи £ А* имеем гие = ей) = т. Это означает, что множество А* относительно операции конкатенации является моноидом. В действительности моноид А* является свободным: если задан другой моноид М (т.е. множество с определенной на нем бинарной операцией, которая ассоциативна и обладает единицей), то любое отображение / : А —» М (единственным образом) продолжается до морфизма / : А* —> М, то есть до отображения, ’’сохраняющего операцию”: /(шн) = /(ш)/(н), и /(е) = 1. (Способ продолжения при этом очевиден: /(а1---а„) = /(сц) /(о„), если а,- принадлежат А. Также

Разумеется, для того, чтобы класс рациональных подмножеств некоторого моноида был булевой алгеброй, достаточно, чтобы он был замкнут относительно дополнения, поскольку по определению имеется замкнутость относительно объединения. Также понятно (например, по теореме 1.1), что если рациональные подмножества моноида — булева алгебра, то он конечно порожден — ведь он сам должен быть своим рациональным подмножеством, значит, задан некоторым конечным автоматом, но тогда метки этого конечного автомата порождают его, а их конечное число. В параграфе 4 для полноты изложения доказывается, что рациональные подмножества конечно порожденной почти абелевой группы — булева алгебра. Гораздо более, на наш взгляд, интересны следующие результаты: в параграфе 5 доказывается обратный результат для класса полициклических групп, т.е. то, что если рациональные подмножества полициклической группы в образуют булеву алгебру, то группа С почти абелева. В параграфе 6 это же самое делается для класса метабелевых групп. Заметим, что если класс рациональных подмножеств группы является булевой алгеброй, то эта группа обладает свойством Хаусона, то есть пересечение двух ее конечно порожденных подгрупп является конечно порожденной подгруппой. Это вытекает из того, что подгруппа рациональна в группе тогда и только тогда, когда она конечно порождена (см. лемму 1.2, а также замечание после нее). Из результатов данной диссертации, в частности, вытекает, что как в классе полициклических групп, так и в классе метабелевых групп свойство Хаусона является действительно более слабым — так, полициклические группы все обладают свойством Хаусона, потому что они удовлетворяют условию максимальности и в них вообще нет не конечно порожденных подгрупп, а классы рациональных подмножеств являются булевыми алгебрами только у почти абелевых групп. Аналогично, в классе конечно порожденных метабелевых групп есть неполициклические группы со