Геометрия и топология симплектических разрешений

• Автор: Каледин, Дмитрий Борисович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 104 с.

Содержание
1 Определения и геометрические свойства
1.1 Определения и примеры
1.2 Пуассонова геометрия
1.3 Симплектические особенности с пуассоновой точки зрения
1.4 Симплектические разрешения
2 Деформации и квантование
2.1 Отображение периодов и твисторные деформации
2.2 Квантования
2.2.1 Локальная теория
2.2.2 Глобализация через формальную геометрию
2.3 Ситуация в положительной характеристике
2.3.1 Новые явления
2.3.2 Ограниченные структуры
2.3.3 Квантование
3 Описание производной категории
3.1 Наклонные генераторы
3.2 Оценки
3.3 Аппроксимация по Артину
3.4 Сравнение производных категорий
4 Дополнительные результаты
4.1 Растягивающие действия
4.2 Топология
4.3 Соответствие Маккея

Введение.
По теореме Хиронаки, любое особое алгебраическое многообразие У над С допускает разрешение особенностей, т.е. гладкое алгебраическое многообразие X, снабженное проективным бирациональным морфизмом X —» У. Для многих задач алгебраической геометрии достаточно самого существования X. Однако зачастую, и в первую тогда, когда алгебраическая геометрия применяется к другим областям математики, требуется некоторый контроль над разрешением X.
Это очень хорошо заметно, например, в геометрической теории представлений (которая описана, например, в книге [СО]). В идеале, имея в руках особое многообразие У, которое кодирует какую-либо задачу теории представлений, необходимо найти разрешение X, которое будет полумалым (т.е. сйтХ ху X = ФтХ), и будет иметь слои с тем или иным образом ограниченной топологией. Если на У действует алгебраическая группа, требуется, чтобы действие поднималось до действия на X.
Во многих конкретных примерах ситуация действительно оказывается идеальной. Например, если У - нильпотентный конус в присоединенной представлении полупростой алгебраической группы, то у него есть хорошо известное полума-лое разрешение Спрингера. Оно эквивариантно по отношению ко всем возможным действиям групп на У. Хотя его слои, вообще говоря, особы, с когомологической точки зрения они ведут себя, как гладкие однородные пространства: все группы когомологий чисты по отношению к весовой фильтрации, и порождены классами алгебраических циклов. Совершенно аналогичная картина наблюдается для так называемых колчанных многообразий X. Накаджимы, и для схем Гильберта п точек на С2. Кроме того, оказывается, что на разрешениях присутствуют некоторые дополнительные структуры - в частности, голоморфная симплектическая форма.
Известные доказательства этих фактов (см. например работу [СЬР]) проводятся явной конструкцией, и сильно зависят от геометрии рассматриваемого многообразия У.
Результаты настоящей диссертации довольно сильно меняют этот сложившийся взгляд на вещи. Оказывается, что голоморфная симплектическая форма, вспомогательное и почти случайное дополнительного данное на разрешении X, на самом

деле сама по себе обеспечивает все остальные хорошие своства разрешения - полу-малость, когомологическую чистоту слоев, и т.д. и т.п. Более того, теорию можно сильно развить - вплоть до того, что получается полное алгебраическое описание производной категории когерентных пучков на X. Это дает новую информацию даже в хорошо изученных и классических случаях, таких, как разрешение Спрингера и схема Гильберта.
Поскольку все, что нужно от многообразия X, это голоморфная симплектиче-ская форма, результаты диссертации следует целиком отнести к алгебраической геометрии (или даже к “симплектической алгебраической геометрии”, если о таковой уместно в настоящий момент говорить). Поэтому мы не предполагаем и требуем никакого знакомства с геометрической теорией представлений. Более того, хотя большинство приложений на настоящий момент происходят из теории представлений, результаты могут с тем же успехом быть использованы для изучения стягиваний голоморфно-симплектических и гиперкэлеровых многообразий - или, более общо, в той части Программы Минимальных Моделей, которая занимается многообразиями с тривиальным каноническим расслоением. В частности, некоторые из полученных результатов о производныых категориях представляют собой частные случаи известных и трудных гипотез, которые должны выполняться в большей общности (см. в первую очередь общую программу А.И. Бондала и Д.О. Орлова, описанную в работах [В01], [В02]). В голоморфно-симплектическом случае эти общие гипотезы оказывается возможным доказать.
Полученные результаты. Перечислим кратко представленные в диссертации результаты.
• Методами пуассоновой геометрии и теории Ходжа построена структурная теория особых симплектических мнгообразий (“симплектических особенностей”). В частности, выделены и изучены два класса общих пуассоновых схем, голономные и локально-точные схемы, доказано, что симплектические особенности обладают обоими свойствами, и доказано, что у них конечное число симплектических листов, имеется каноническая стратификация гладкими симплектическими многообразиями, верен формальный аналог разложения Вайнштейна, и локально существует нетривиальное действие группы

чаемая пуассонова схема Z.
Отметим, что, помимо обращения когомологий в ноль, на пуассонову схему X в этой теореме не накладывается никаких условий - она может быть, например, приводима, сколь угодно особа, иметь нильпотенты в структурном пучке.
Доказательство теоремы 2.3 проводится индукцией по порядку деформации. Введем некоторые обозначения. Для любого целого п > 1, обозначим через Sn = Spec if[[f]]/tn+1 п-ю инфинитеземальную окрестность специальной точки о Є S формального диска S — Spec if [[і]]. По определению, имеем канонические вложения
Sx С С Sn С
Определение 2.4. Данные редукции порядка п - это набор (Xn/S„, £) из гладкой пуассонобой схемы Xn/Sn и линейного расслоения £ на подсхеме Хп_х = Хп xSn
і С Хп, снабженного такой структурой пуассонова пучка на Хп, что
(i) гамильтоново векторное поле Ht равно нулю на Охп (Хп ~ пуассонова схема над Sn), и
(ii) -линейное отображение Ht : С —» С равно тождественному отображению.
Отметим, что в силу (і), С Хп - пуассонова схема, a tnC С С - Пуассо-
нов подпучок. Поэтому, имея данные редукции (Xn/Sn,£) порядка п, получаем ограничением данные редукции (X„_i,C/tnC) порядка п— 1. При п = 0 даннные редукции - это просто пуассонова схема Хо-
Замечание 2.5. Пучок С в определении 2.4 не является пуассоновым модулем над Х„-х (умножение на tn тривиально на £, но скобка с tn нетривиальна - с точностью до константы, отображение Htn есть умножение на і"-1).
Данные редукции порядка п образуют группоид, с очевидными изоморфизмами. Для любой пуассоновой схемы X, пара (X х Sn,Oxn_і) очевидным образом дает данные редукции порядка гг, которые мы будем называть тривиальными. Если даны данные редукции (Хп, £) порядка гг, то под тривиализацией пучка £ мы будем понимать сечение е Є Н°(Хп,£), индуцирующее изоморфизм 0Хп_х -» £