Проблемы бернсайдовского типа для алгебр Лейбница

• Автор: Фролова, Юлия Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Ульяновск
• Количество страниц: 85 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Предварительные сведения
1.1. Линейные алгебры и их многообразия
1.2. Алгебра Ли и алгебра Лейбница
1.3. Необходимые сведения из теории представлений симметрической группы
1.4. Многообразие алгебр Ли АКг и его свойства
Глава 2. О нильпонентности алгебр с условием энгелевости
2.1. Взаимосвязь нильпотентности и условия энгелевости в случае алгебр Ли
2.2. Нильпотентность энгелевой алгебры Лейбница в случае нулевой характеристики основного поля
2.3. Пример ненильпотентной энгелевой алгебры Лейбница над полем простой характеристики
Глава 3. Многообразие зN почти ассоциативного типа
3.1. Некоторые свойства многообразия зМ
3.2. Новое экстремальное свойство многообразия зN
Литература

Введение
Одним из устоявшихся направлений исследований современной алгебры является изучение линейных алгебр с точки зрения выполнения в них тождественных соотношений. Класс всех линейных алгебр над некоторым полем, в которых выполнен фиксированный набор тождественных соотношений называют многообразием линейных алгебр над заданным полем [20] или, в терминологии А.Г. Куроша, примитивным классом алгебр [18]. Классическими примерами многообразий алгебр являются многообразия ассоциативных алгебр, алгебр Ли, йордановых алгебр, а, ц последнее время, также и алгебр Лейбница.
Напомним, что алгебра называется нильпотентной алгеброй ступени с, если в ней выполняется тождество Х1Х2 хс+ = 0, но не выполняется тождество ХХ2 .. хс = 0. Понятно, что в нильпотентной алгебре ступени с выполняется тождество хс+1 = 0. Естественно возникает вопрос о том, верно ли обратное. По теореме Нагаты-Хигмана, например, в случае пулевой характеристики основного поля, ассоциативная алгебра с условием хп = 0 нильпотентна индекса не больше 2П — 1 (см., например, [13]).
В теории многообразий алгебр Ли проблема энгелевости в случае поля нулевой характеристики оставалась нерешенной проблемой около ста лет. Тождеством энгелевости называется тождество вида хУт = 0, где У — оператор умножения справа на элемент у в алгебре Ли, а скобки, расставленные левонормированным способом, опущены. Алгебра Ли, удовлетворяющая этому условию называется алгеброй с условием энгелевости порядка т.
Проблема энгелевости восходит своими корнями к проблеме, сформулированной Бернсайдом для групп в 1902 году [3]. Ослабленной проблемой Бернсайда занимались В. Магнус, И.Н. Санов, Г. Хигман, А.И. Ко-стрикин, С.П. Мищенко, Е.И. Зельманов и др. Все они работали в на-

правлении, намеченном Магнусом, то есть исследовали лиевы кольца с условием энгелевости.
Более пятидесяти лет назад А.И. Кострикин в работе [17] доказал, что п-энгелева алгебра Ли над полем нулевой характеристики или простой характеристики р > п содержит ненулевой абелев идеал. В этой же работе А.И. Кострикин доказал, что п-энгелева алгебра Ли над полем нулевой характеристики или простой характеристики р > п локально нилыютентна, решив тем самым ослабленную проблему Бернсайда для групп простого показателя (см. [16], [17]). Возник вопрос, по существу ли этот результат локален, то есть не будет ли п-энгелева алгебра Ли над полем нулевой характеристики или простой характеристики р > п нилыютентной?
Тридцать лет назад Мищенко С.П. в работе [28] установил нильпотентность энгелевого подмногообразия многообразия, порожденного простой бесконечномерной алгеброй Ли картановского типа общей серии У/к.
Напомним строение алгебры Иф. Пусть і? = Ф[[і> > 2к\ — кольцо формальных степенных рядов от к переменных над нолем Ф. Дифференциальные операторы В : Я Я вида В — Хл=] гДе /і Є Л, а ф — формальное дифференцирование по г-й переменной [ЛфЛг] — ВВ-2 — В2В1 образуют необходимую алгебру Ли Иф.
Кроме того, в работе [22] С.П. Мищенко была доказана нильпотентность п-энгелевой алгебры Ли над полем нулевой характеристики, лежащих в многообразии экспоненциального роста.
При доказательстве данного результата были использованы комбинаторные методы и теория представления симметрической группы, что дало ограничение на характеристику поля. В то же время техника, разработанная Кострикиным А.И., а так же его результаты использованы не были.
Позже, опираясь на результат А.И. Кострикина о наличии абеле-

Тогда подгруппы примут вид
Rrd — {е; (1>2)}, CTd = {е; (1,3)}, а элемент fTd будет таким
ХХ2Х3 + Х2ХХ3 - Х3Х2Хг - Х3ХХ2 После "склеивания" получим
gTd = 2(xfx3 - хзадад) Рассмотрим второй случай:

Тогда подгруппы примут вид
Ета = {е] (1, 3)}, Сы = {е; (1,2)},
а элемент /тг) будет таким
хх2хз + Х3Х2Х1 — Х2Х1Х3 — Х2Х3Х1
После "склеивания" получим
дтЛ = 2{хх2х - х2ххХ1)
В третьей диаграмме числа можно расставить единственным образом: