Разрешимость теорий первого порядка матричных алгебр и групп преобразований

• Автор: Нагребецкая, Юлия Ваплавовна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 100 с.

Содержание
Введение
ГЛАВА 1. ГРУППЫ И МОНОИДЫ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ
МАТРИЦ
§1. Формулировка результатов и предварительные сведения
§2. О границе разрешимости полной линейной группы
§3. О границе разрешимости полного линейного моноида
ГЛАВА 2. КОЛЬЦА ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ МАТРИЦ
§4. Формулировки основных результатов
§5. О границе разрешимости классов колец целочисленных
матриц
ГЛАВА 3. КОЛЬЦА МАТРИЦ И МАТРИЧНЫЕ АЛГЕБРЫ
НАДКОЛЬЦАМИ
§6. Основные понятия и формулировки результатов
§7. О граничной эквивалентности колец и матричных колец
над ними
§8. О граничной эквивалентности колец и некоторых
матричных алгебр над ними
ГЛАВА 4. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ БЕСКОНЕЧНЫХ
МНОЖЕСТВ . :
§9. Исходные понятия и формулировка основного результата ... 86 §10. О границе разрешимости бесконечной симметрической
группы
Литература
Введение
В центре внимания современной теоретико-модельной алгебры находятся вопросы разрешимости теорий первого порядка классов алгебраических систем. Их общая постановка восходит к А. Тьюрингу, Э. Посту, А. Черчу, А.А. Маркову. Решающий вклад в развитие соответствующего направления внесен А.И. Мальцевым, А. Тарским и ЮЛ. Ершовым.
Огромная роль матричных групп и колец, которую они играют в алгебре, обуславливает важность их исследования в рамках теории моделей. Начало изучению элементарных свойств классических линейных групп было положено А.И. Мальцевым. В [32] им доказана взаимная определимость произвольного поля F нулевой характеристики в полной линейной группе GL(n, F) и в специальной линейной группе SL(m,F) для любых п > 2, т > 3. Это означает одновременную разрешимость или неразрешимость элементарных теорий £GL(n,F), £SL(m, F) и £F. Везде ниже через R мы будем обозначать ассоциативное кольцо с единицей. Определяющей для дальнейших исследований разрешимости теорий матричных групп и колец явилась работа [31], в которой исследовано соответствие между кольцом R и группой UT(n, R) всех унитреугольных матриц порядка п над R. А именно, показана определимость кольца R в группе UT(3, R) *=* {UT{3, Д); -,-1 Д12Д23)? где = Е + еы, Е — единичная матрица, a eij — матричная единица. Используя этот результат, нетрудно доказать определимость произвольного кольца R в группе UT(n,R) (UT(n, R); -,-1, £12,. - - ,tn-i,n) для любого п > 3. Отсюда и из оче-
видной определимости группы UT(n, R) в кольце R непосредственно следует, что теории £UT(n, R) и £R одновременно разрешимы или неразрешимы. Продолжая исследования элементарных свойств унитреугольных групп, О.В. Беле-градек [2] доказал, что если кольцо R коммутативно или является кольцом без делителей нуля, то элементарная теория группы UT{n, R), рассматриваемой в сигнатуре без констант, разрешима тогда и только тогда, когда разрешима элементарная теория кольца R. В этой же работе показано, что для произвольного ассоциативного кольца с единицей это неверно, ибо существует такое кольцо R, для которого теория £R неразрешима, а теория £UT(n1R) разрешима для любого п > 3.
Обозначим через RnXn кольцо всех матриц порядка п > 1 над R. Если R коммутативно, то оно очевидным образом выделяется в кольце RnXn при помощи формулы р(х) ~ Уу(ху = ух). Отсюда и из непосредственной определимости кольца Rnxn в самом кольце R следует, что для любого п > 1 теория £ftnxn разрешима тогда и только тогда, когда разрешима теория £ R. Нетрудно понять, что произвольное кольцо R определимо в кольце Rnxn при помощи констант en,ei2, -, Ci„, откуда легко следует, что элементарная теория кольца Rnxn в сигнатуре с этими константами разрешима тогда и только тогда, когда разрешима элементарная теория самого кольца R. Обозначим через NT(n,R) тесно связанное с группой UT(n,R) кольцо всех верхних нильтре-угольных матриц порядка п над R. Б. Роз'з [51] применил рассуждения из [31]
к кольцу NT(n, R) для произвольного R и доказал определимость R в кольце NT(n,R) r= (NT(n, R); +,-,еи
Из приведенных результатов видно, что почти всегда вопрос о разрешимости элементарных теорий матричных алгебр над кольцом R решается ”по модулю” разрешимости элементарной теории самого кольца R. Особую роль в подобных исследованиях играет кольцо Z целых чисел. Тем более, что неразрешимость диофантовой теории кольца целых чисел, вытекающая из отрицательного решения Ю.В. Матиясевичем в [34] 10-й проблемы Гильберта, позволяет установить неразрешимость не только элементарных, но и некоторых ограниченных теорий первого порядка матричных алгебр над Z рассмотренных выше типов.
В цитированной работе [32] была доказана неразрешимость теорий £GL(n, Z), £SL(n,Z) для любого п > 3. А.М. Слободской в [40] значительно усилил этот результат для группы GL(3,Z), доказав неразрешимость универсальной теории этой группы. Из указанных выше результатов следует неразрешимость теорий £UT(n,Z) и £NT(n, Z) для любого п > 3. Анализируя интерпретацию кольца целых чисел в группе UT('3,Z), построенную в [31], В.Г. Дурнев [18], [19] доказал неразрешимость диофантовых теорий групп GL(3, Z), SL{3, Z), рассматриваемых в сигнатуре с константами 112, а также сколемских теорий
групп GL{n, Z), SL(n, Z) для любого п > 3, рассматриваемых в сигнатуре без констант. Кроме того, используя [31], [51], нетрудно показать неразрешимость диофантовых теорий группы (JT(n,Z) и кольца NT (и. Z), а также сколемских теорий группы f/T(n.Z) п кольца NT(n, Z) для любого п > 3.
Опираясь на результат Ю.В. Матияоевича, R.A. Романьков в [38] доказал неразрешимость 3-теории свободной нильпотентной группы ступени п > 9 счетного ранга с двумя свободными образующими. Отсюда следует неразрешимость 3-теории свободной нильпотентной группы Т’п ступени п > 9 ранга п в этой же сигнатуре, а значит, и неразрешимость V3-теории группы Тп в сигнатуре без констант. Хорошо известно, что для п > 3 группа Тп- изоморфна группе UT(n,Z). Следовательно, для любого п > 10 неразрешимы 3-теория группы UT(n, Z) в сигнатуре с константами, интерпретируемыми матрицами и з- и V3-теория группы UT(n, Z) в сигнатуре без констант. Наконец, отметим неразрешимость сколемской теории кольца ZnXn, очевидным образом вытекающую из результата Ю.В. Матияоевича и упомянутой выше интерпретации Z в Znxn.
Обилие результатов по неразрешимости элементарных и ограниченных теорий классических целочисленных матричных групп и колец приводит к рассмотрению проблемы, сформулированной Ю.М. Важениным в [6] для произвольного класса алгебраических систем: описать все в некоторых рамках разрешимые теории рассматриваемого класса, алгебраических систем. Для решения этой проблемы Ю.М. Важениным в [о]—[Т] был разработан продуктивный

Замечание 3. Пусть для некоторого набора А матриц из (?£(3,2) истинно в (7 утверждение

/х ! {ь){А, х) = Е)У {и)(А, х) = —Е).

Тогда найдется бесконечное множество целых чисел Е, а также найдутся совокупности бесконечных множеств целых чисел
{1 | 1 € Е} , {Еиг2 Иг € 2’*1} ,. , {£«,42...«я„-2«зп-1 I зп—1 € Е%2„л3„_2} (8) такие, что в (7 истинна дизъюнкция

V V*! € гу<2 е гч..мш <= £11ММ{*(л,(?) = £ Vи(л,л’) = -я), (9)

I — 112 - Т'Зп — У у2 г2 Уз г3 ...ух гг у2 г2 у3 г3 ,
X Т* К(Ч,СЧЛ*ШМЧЛ» .(”)„(”).(")„(»>_(») (П)
»1 г1 У2 *2 »3 г3 1 г1 У2 г2 У3 *3
Доказательство замечания 3 практически повторяет доказательство замечания 2. Замечания 2 и 3 выражают некоторое подобие ’’дистрибутивности” квантора V относительно дизъюнкции. Сформулируем обобщение леммы 7 в контексте замечания 3.
Лемма 8. Пусть В € ОЬ{3,2)]п, Е — бесконечное множество целых чисел, (8) — совокупности бесконечных множеств целых чисел, и пусть для кортежа t справедливо равенство (10). Далее, пусть слово ю(Ь, х) либо является некоторым неединичнъш словом из Д*3(х-1
(в,х) = е Vи>(в,х) = -е)
и кортеж X определен равенством (11).
Доказательство леммы 8 проводится аналогично доказательству леммы 7 с использованием замечаний 1 и 3.
Лемма 9. Пусть ух), ги/(х) — неединичные слова из Х<&(х
В ** £{1)... В$... В(,т'-1)... В{£1Д