Первичный радикал решеточно упорядоченных алгебр

• Автор: Кочетова, Юлия Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 87 с.

Содержание
Введение

Глава 1. Решеточно упорядоченные векторные пространства

1.1 Свойства частично упорядоченных групп

1.2 Частично упорядоченные поля

1.3 Векторные решетки над полями с различным упорядочением ... 21 Глава 2. Идеалы в частично упорядоченных алгебрах

2.1 Частично упорядоченные алгебры. Примеры

2.2 Идеалы и 1-идеалы /-алгебр. Свойства /-идеалов

2.3 Свойства порядковых гомоморфизмов частично упорядоченных алгебр

2.4 Центральные системы идеалов упорядоченных алгебр

2.5 Спрямляющие /-идеалы /-алгебр

2.6 Разложение в декартову сумму /-алгебр над направленным полем 54 Глава 3. Радикалы решеточно упорядоченных алгебр
3.1 /-произведение /-идеалов /-алгебры
3.2 /-первичные алгебры. Свойства /-первичных идеалов /-алгебр. Насыщенные системы
3.3 /-первичный радикал /-алгебры
3.4 /-полупервичные /-алгебры
3.5 Свойства /-первичных радикалов /-алгебр
3.6 /-радикал /-алгебры
3.7 Свойства нижнего слабо разрешимого /-радикала /-алгебр
Список литературы

Введение
Понятие радикала является одним из основных инструментов построения структурной теории многих алгебраических систем. Теория радикалов наиболее развита для колец, алгебр, модулей и групп. Развитие структурной теории привело к появлению большого числа различных радикалов. В частности, в теории ассоциативных колец возникли следующие классические радикалы: локально нилытотеитный радикал Левицкого, верхний нильрадикал Кётс, квазирегулярный радикал Джекобсона, нижний нильрадикал Бэра и первичный радикал. При построении структурной теории алгебр Ли в 1888-1890 годах появился разрешимый радикал В. Киллинга, а в 1971 году — слабо разрешимый радикал В.А. Парфенова [24].
В 1943 году Бэр [33] построил для колец нижний нильрадикал трансфинитным "бэровским" процессом. Первичный радикал кольца ввел в рассмотрение в 1949 году Маккой [36]. Левицкий [35] в 1951 году доказал совпадение радикала Бэра и радикала Маккоя. Первичный радикал исследовался для различных алгебраических систем: К.К. Щукиным для групп |32], A.B. Михалёвым и М.А. Шаталовой для П-групп [21], С.А. Пихтильковым для алгебр Ли [25]. В перечисленных работах было получено поэлементное описание первичного радикала соответствующей алгебраической системы. Кроме этого, С.А. Пихтильковым в работе [25] было введено понятие нижнего слабо разрешимого радикала алгебры Ли и доказано, что этот радикал совпадает с первичным радикалом алгебры Ли [25, теорема 2.3.3].
Плодотворной оказалась идея распространить понятие радикала на частично упорядоченные алгебраические системы, что видно на примере рассмотрения первичного радикала в решеточно упорядоченных кольцах (/-кольцах), восходящего к статье Биркгофа и Пирса [34] 1956 года (см. также [4]). Поэлементное описание первичного радикала для /-колец, Б групп и /-модулей получено A.B. Михалёвым и М.А. Шаталовой [20, 19, 21), а для направленных групп — A.B. Михалёвым и Е.Е. Ширшовой [22, 23]. Для решеточно упорядоченных колец A.B. Михалёвым и М.А. Шаталовой [20] было показано, что стандартная процедура построения нижнего радикала приводит к /-первичному радикалу /-кольца.
До последнего времени понятие /-первичного радикала не исследовалось для решеточно упорядоченных алгебр Ли (/-алгебр Ли). Учитывая этот факт, профессором кафедры Высшей алгебры МГУ A.B. Михалёвым была постав-

лена задача: изучить свойства первичного радикала решеточно упорядоченных алгебр Ли, используя определение частично упорядоченной алгебры Ли над частично упорядоченным полем, введенное В.М. Копытовым в статье [12] 1972 года.
Алгебра Ли Ь над частично упорядоченным полем А1 называется частично упорядоченной, если на Ь задано отношение порядка такое, что:
1. (Л; +; — частично упорядоченная группа;
2. из х у следует, что Хх А у для всех х, у Є Ь и А Є Л1, А 0;
3. из х у следует, что х + [х, г] у + [у, г] для всех х, у, г Є Ь.
В 70 80-х годах прошлого века на базе понятия частично упорядоченной алгебры Ли была построена содержательная теория линейно упорядочиваемых алгебр Ли над линейно упорядоченным полем, ряд основных результатов которой отражен в работах [11, 12, 10, 16, 17, 18,1]. Так, в работах В.М. Копы-това [11, 12, 10) рассмотрено строение решетки выпуклых подалгебр линейно упорядоченной алгебры Ли и доказано, что все /-идеалы /-алгебры Ли над линейно упорядоченным полем образуют полную подрешетку в решетке всех идеалов данной алгебры. Помимо этого. В.М. Копытовым рассматривались вопросы упорядочиваемости алгебр Ли и в статье [12] им было доказано, что алгебра Ли над линейно упорядоченным полем линейно упорядочиваема тогда и только тогда, когда она обладает центральной системой, при этом конечномерная линейно упорядоченная алгебра Ли нильпотентна. Также при изучении взаимосвязи решеточно упорядоченных алгебр Ли с линейными порядками В.М. Копытовым в статье [10] было показано, что всякая/-алгебра Ли над линейно упорядоченным полем /-изоморфна /-подалгебре декартовой суммы линейно упорядоченных алгебр Ли.
В [12] В.М. Копытов указывает на то, что введенное им определение порядка на алгебре Ли можно рассматривать не только для этих алгебр, но и для произвольных алгебр над упорядоченными полями. Кроме того, нами было замечено, что существует связь между линейным порядком Копыто-ва ассоциативной алгебры А и порядком Копытова на соответствующей ей алгебре Ли тФ-) (предложение 2.2.1), которая позволяет существенно расширить число примеров упорядоченных по Копытову алгебр Ли. Данные наблюдения послужили стимулом для изучения свойств порядка Копытова на произвольных линейных алгебрах над полями и привели к необходимости решения следующих задач:
1. Распространить понятие порядка Копытова с класса алгебр Ли на про-

(З') для А имеем аЪ <§; а и Ьа <С а, откуда по теореме 2.2.1 [а, 6] = аЬ — Ьа, <С а. Значит, для выполняется условие (3') определения 2.1.4. □
Следствие 2.2.1. Если А — ассоциативная алгебра, линейно упорядоченная по Копытову и В — подалгебра в А, то К-порядок на А индуцирует линейный порядок Копитова на алгебре Ли ассоциативной алгебры В.
Идеал I частично упорядоченной алгебры Ь над частично упорядоченным полем Л называется выпуклым, если I является выпуклым подмножеством в Ь, то есть для любых элементов х,у, г Є Ь из х,у Є І следует,
что г £ I.
Теорема 2.2.2. Если А — линейно упорядоченная алгебра над линейно упорядоченным полем Р, то Ма — выпуклый идеал в А и Ма ф А.
Доказательство. Пусть Ь, с £ Ма, хеАиЬх с. Для элемента А Є Р по условию теоремы имеем А < 0 или А 0. При А > 0 по условию (2) определения 2.1.2 получаем х Ас, где Ас а, откуда Хх а. Далее, —с —х —Ь. Если А < 0, то —А > 0, поэтому по условию (2) имеем (—А) (—с) (—А) (—ж) (—А)(—Ь), то есть Хх АЬ, где АЬ о. Отсюда следует, что Ат а.
Таким образом, Хх а для всех А Є Р, то есті» х <К. о и, значит, х £ Ма. Итак, Ма — выпуклый идеал и при этом Ма ф А, так как а ф Ма. □
Предложение 2.2.2. Пусть А — линейно упорядоченная алгебра над линейно упорядоченным полем Р и Ь > 0, Ъ £ АМа. Тогда з: <С 6 для всех х £ Ма и Ма С Мь-
Доказательство. Пусть х £ Ма- Если существует А Є Р, для которого Ъ Ат, то Ь £ Ма в силу выпуклости идеала Ма, что противоречит выбору элемента Ъ. Значит, Ат Ъ для всех А Є Р, то есть х С Ь. Следовательно, Ма С Мь. □
Предложение 2.2.3. Если I — выпуклое направленное подпространство в 'частично упорядоченной алгебре А над частично упорядоченным полем. Р, т.о I является идеалом в А.
Доказательство. Пусть х Є А, у Є I. Если у > 0, то по замечанию 2.1.1 —у ху,ух у, откуда, в силу выпуклости I, имеем ху,ух Є I. Если у < 0, то —у > 0 и, по доказанному выше, —ту Є /, откуда ху £ I. В случае, когда у || 0 существуют элементы а,Ь £ I такие, что а 0, 60иу = а — Ь (см