Конечные группы с независимыми подгруппами

• Автор: Цирхов, Аубекир Ахметханович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Нальчик
• Количество страниц: 48 с.

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. Изучение влияния свойств подгрупп и их вложений в группу на строение этих групп — одна из центральных задач теории групп.
Еще в 1897 году Р. Дедекинд [40] изучил группы в которых нормальны все подгруппы. Неабеловы группы с таким свойством он называл гамильтоновыми в честь Гамильтона — создателя алгебры кватернионов, в структуре которой одна из гамильтоновых групп — группа кватернионов — играет важнейшую роль.
В 1903 году Г. Миллер и X. Морено [41] описали конечные группы, в которых все собственные подгруппы абелевы.
В 1926 году О.Ю. Шмидт [26] обобщил их результаты, классифицировав все конечные группы с пилыютентпыми собственными подгруппами.
Соответствующее направление в теории конечных групп, связанные с описанием классов групп, в которых все подгруппы (или их определенная часть) обладают теми или иными свойствами, получило дальнейшее плодотворное развитие. Одним из главных результатов этого направления является классификация групп, все локальные подгруппы которых разрешимы [38].
Вслед за упомянутой выше статьей Шмидт опубликовал обобщение результата Дедекинда, а именно, классификацию групп, в которых есть ровно один класс сопряженности пешшариаптпых подгрупп [25]. Эти исследования были продолжены в ряде работ отечественных и зарубежных

авторов.
Естественным обобщением гамильтоновых групп является класс ме-тагамильтоновых групп, состоящий из групп, в которых нормальны все абелевы подгруппы.
К этой теме примыкают и результаты настоящей диссертации.
Напомним, что подгруппа Л группы С называется независимой, если Мс{В) ^ Ду;(Л) для каждой неединичной подгруппы В из А.
Независимыми подгруппами, очевидно, являются группы простых порядков, нормальные подгруппы, дополнения групп Фробепиуса. Другими примерами независимых подгрупп служат силовские 2-подгруппы в простых группах Ь2 (2т), Эх (22т+1) и Н3 (2т).
М. Сузуки [37] классифицировал конечные группы четного порядка с независимыми силовскими 2-подгруппами.
Л.И. Шидов [23] описал конечные группы, в которых независима каждая нилытотентная подгруппа, а Х.Я. Уначсв [20] — конечные группы, в которых независимыми являются все /-максимальные подгруппы при г — 1,2,3. В работе А.Х. Журтова [7] содержится описание конечных простых групп с независимыми циклическими 2-подгруппами. Некоторые подходы к проблеме классификации конечных групп с независимыми абелевыми подгруппами предприняты в работе Л.И. Шидова [24].
Тем не менее, до последнего времени задача описания конечных групп, в которых независимы все абелевы (соответственно, все неабелевы) подгруппы, оставалась нерешенной.
Цель диссертации. Получение классификации конечных групп, все
абелевы (соответственно, все неабелевы) подгруппы которых независимы.
Методы исследований. Используются методы абстрактной теории групп.
Научная новизна и практическая ценность. Все результаты диссертации являются новыми. Они имеют теоретический характер. Результаты и методы работы могут быть использованы в теории групп и ее приложениях.
Апробация диссертации. Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции "МАЛЬЦЕВСКИЕ ЧТЕНИЯ" (Новосибирск, 2013 год), на семинаре "Теория групп" Кабардино-Балкарского государственного университета, на 8-й и 9-й Международных школах-конференциях (Нальчик, 2010 год; Владикавказ. 2012 год) но теории групп, на 18-й и 19-й Международных алгебраических конференциях (Нальчик, 2009 год; Челябинск, 2011 год).
Основные результаты диссертации.
1. Доказано, что в конечной группе С все неабелевы подгруппы независимы тогда и только тогда, когда С — метагамильтопова.
2. Получено исчерпывающее описание конечных групп, все абелевы подгруппы которых независимы.
Оба основных результатов опубликованы в изданиях из перечня ВАК.

Из равенств
к ■... ■ к3т = (Ап • кт)р = {к, ■... • кт)н =
__ 7,Л /Л _ 7..Ш [,а„
— л-1 • • • • лт ~~ Ч • • • • • кт
вытекает, что А“1 = кг,, к“"1 = А,^.
Пусть А; = А"1 • ... ■ А" — произвольный элемент из К. Тогда
к" = №)'■ .....«■)* = (*?)"' (*£)”” =
= (а-?)”' • ■ ■ • ■ (*&)”" =
то есть (А) действует скалярно на К.
Справедливость обратного утверждения очевидна. Лемма доказана.

3.2. Строение нильпотентиых А1-групп
Пусть (С — нильпотентная А1-группа. Если в С нормальна любая подгруппа простого порядка, то, по условию, в С нормальна любая абелева подгруппа и, поскольку любая группа порождается своими абелевыми подгруппами, О — абелева или гамильтонова группа, т.е. выполнен пункт (1) теоремы 2.2. Наоборот, любая абелева или гамильтонова группа является, очевидно, АІ-группой.
В дальнейшем будем предполагать, что в С есть неипвариантпая подгруппа простого порядка р.