Дзета-функции алгебраических поверхностей и якобианы кривых рода 3 над конечными полями

• Автор: Рыбаков, Сергей Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 88 с. : ил.

0.1 Многообразия над конечными полями и дзета-фуикции
0.2 Алгебраические поверхности
0.3 Конечные групповые схемы
0.4 Предварительные сведения об абелевых многообразиях
0.5 Классификация дзета-функций эллиптических кривых и
абелевых поверхностей
0.6 Формулировки результатов
0.6.1 Расслоения на коники и поверхности дель-Пеццо
0.6.2 Акручение абелевых многообразий и поверхности
Куммера
0.6.3 Биэллиптические поверхности
0.6.4 Якобианы кривых рода
0.7 Благодарности
1 Расслоения на коники
1.1 Дзета-функции расслоений на коники
1.2 Формы проективной прямой над функциональным полем
1.3 Основная теорема
1.4 Явные конструкции: поверхности Шаттле
2 Поверхности дель-Пеццо
3 Абелевы многообразия над конечными полями
3.1 Кольца эндоморфизмов абелевых многообразий
3.2 Многоугольники Ньютона и Акручение
3.3 Квадратичные расширения
3.4 ^-кручение абелевых поверхностей
4 Поверхности Куммера

5 Биэллиптические поверхности
6 Трехмерные абелевы многообразия и якобианы кривых рода 3 над конечными полями
6.1 Конечные подсхемы в абелевых многообразиях
6.2 Поляризации на абелевых многообразиях
6.3 Ядра поляризаций абелевых многообразий над конечными
полями
6.4 Поляризации на трехмерных абелевых многообразиях
6.5 Якобианы кривых рода

Пусть X — гладкое проективное многообразие над конечным полем к = ¥д. В этом случае у многообразия есть набор важных инвариантов ЛГг. Для данного натурального г число Д. — это количество точек на X = X X); к, координаты которых лежат в F9r. Эти инварианты можно объединить в дзета-функцию многообразия (см. определение 0.1).
А. Гротендик доказал, что дзета-функцию многообразия над конечным полем можно вычислить через характеристические многочлены действия Фробениуса на этальных когомологиях.
В случае, когда X —- поверхность, нас будет интересовать структура дзета-функции в терминах геометрии и комбинаторики X. Для некоторых классов поверхностей получена явная классификация. Например, обобщен результат из статьи М. А. Цфасмана [ТвЭв], где изучался вопрос о количестве /г-точек на расслоениях на коники, а также построены поверхности дель-Пеццо степени 4, дзета-функции которых были классифицированы Ю. И. Мининым [Мап72].
Поскольку любая поверхность получается раздутием минимальной, достаточно вычислить дзета-функции минимальных поверхностей. Для этого нам потребуется классификация минимальных поверхностей над конечным полем. Если размерность Кодаиры неотрицательна, то достаточно классических результатов Энриквеса над алгебраически замкнутым полем, которые были доказаны Бомбьери и Мамфордом в произвольной характеристике [ВМ77]. В остальных случаях можно воспользоваться результатами В. А. Псковских и Ю.И.Манина о классификации рациональных поверхностей и расслоений на коники [1зк79] и [Мапбб].
В диссертации вычислены дзета-функции следующих типов поверхностей: расслоения на коники над гладкими проективными кривыми (теорема 0.19), поверхности дель-Пеццо степени 4 (теорема 0.20), поверхности Куммера в характеристике не равной двум (теорема 0.23) и биэллиптические поверхности в характеристике

Остались последние две строчки таблицы. Пусть х — я ± Поскольку степень минимального многочлена действия х равна трем, у жордановых клеток действия на Т/£Т ранг тоже не больше трех. Заметим, что на двумерном подпространстве 1тж С Т <0>е характеристический многочлен х равен /(£ ® у/я)- Докажем, что если х действует на Т/£Т нулем или двумя клетками ранга 2, то действие на ТШт ж делится на-£, и следовательно, его определитель /(Туф) Делится на £2. В случае нулевого действия это очевидно. Во втором случае у Т есть базис VI,XVI, г>2,ху% следовательно, решетка Т П 1тж порождена ХУ и ХУ2, и по условию х2VI и х2У2 делятся на £ в Т. Докажем, что остальные варианты реализуются. Возьмем снова поверхность с кольцом эндоморфизмов ® О. Пусть г — кондуктор порядка Ъ^Щ/(/(£))
в О. В этом случае модуль Тейта порожден векторами г>1 г>4 с действием:
ХУ = ХУ2 = 0, ХУз = Ру<х, ХУ — езУз + 641*4,
где е» £ £Ъ(,. Если /(Ту/я) не делится на £2, то есть г = 0, то Т И подмодуль, порожденный Ух, 1*2 + Уз,У4,езУз, соответствуют двум возможным случаям предпоследней строчки таблицы. Если /(ч^у/я) делится на £2, то порождающие подмодулей для последней строчки таблицы таковы:
1. Г;
2. Ух + Уз, £ГУ4, у2 + У4, езУз,
3. Ух,У2,Уз,£ГУ4)
4. Ух,У2 + УЗ,£ГУ4,£г~1езУзНаконец в пункте 8 автоморфизм Фробениуса всегда действует скалярно на модуль Тейта, поэтому А[£ = С(Чгу/я)А- Доказательство закончено. □