Пунктуальные схемы Гильберта малой длины в размерностях 2 и 3

• Автор: Тихомиров, Сергей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 55 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1. Схемы Гильберта точек
§1. Общие сведения о схемах Гильберта
§2. Пунктуальные схемы Гильберта
§3. Многообразие полных пунктуальных флагов Х,з
Глава 2. Пунктуальная схема Гильберта длины 5 на поверхности
§1. Пунктуальная схема Гильберта Щ{0) и многообразие Х± полных пунктуальных флагов длины
§2. Основное вычисление
§3. Описание бирационального морфизма забывания а : X5 —> Щ(0)
Глава 3. Пунктуальная схема Гильберта длины 3 в пространстве
§1. Предварительные вычисления
§2. Описание схемы Яз(0) и многообразия полных пунктуальных флагов Х3
Глава 4. Пунктуальная схема Гильберта длины 4 в пространстве
§1. Предварительные вычисления
§2. Многообразие Х4 полных пунктуальных флагов длины <4
§3. Морфизм забывания а : Х5 —» Щ{0)
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. Цели работы. Исследования по схемам Гильберта точек на алгебраических многообразиях занимают одно из важных мест в современной алгебраической геометрии, и в течение последних трех десятилетий поток .работ в этом направлении непрерывно нарастает. Это вызвано с одной стороны богатой геометрией этих многообразий, а с другой многочисленными приложениями как внутри самой алгебраической геометрии, так и в целом ряде смежных областей математики. Особый интерес при этом представляют так называемые пунктуальные схемы Гильберта, играющие ключевую роль в географии и геометрии обычных схем Гильберта точек. Под пунктуальной схемой Гильберта длины с? на гладком г-мерном алгебраическом многообразии понимается схема Гильберта ЯД0) = Н11Ь<г8ресЛ[[т1
Целью настоящей диссертации является рассмотрение следующего случая <1 = 5 в размерности 2 и двух первых нетривиальных случаев й = 3 и 4 в размерности 3. В этих случаях детально исследуется бирегулярная геометрия схем ЯЦО) и их естественная десингуля-ризация многообразиями полных пунктуальных флагов.
Методы работы и научная новизна. Основной метод исследования состоит в том, что схема Z( с носителем в точке 0 получается из схемы 1 операцией ’’добавления точки” 0, выражаемой на схемном языке точной тройкой 0 —> &(0) —» Огл —> Огл_1 —> 0; при этом всевозможные такие расширения, классифицируемые соответствующими ЕхП группами, дают описание пунктуальных схем Гильберта Д<г(0). В работе также используется техника универсальных семейств над схемами Гильберта, позволяющая описывать базы семейств универсальных флагов расширений описанного типа как последовательные
проективизации относительных £хЬ -пучков. При этом для существования глобальных

семейств оказывается важным свойство локальной свободы этих Ext -пучков. Доказательство этого свойства в рассматриваемых случаях d = 5 при г = 2ис! = 3,4 при г = 3 составляет основную техническую трудность настоящего исследования и использует конкретную геометрию пунктуальных схем Гильберта. По-видимому, свойство локальной свободы этих относительных Ext -пучков нарушается при больших значениях d.
Результаты диссертации являются новыми.
Практическая и теоретическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при изучении геометрии пунктуальных схем Гильберта произвольной длины в малых размерностях, в частности, длины d > 6 в размерности 2 и длины d > 5 в размерности 3, а также геометрии многообразий полных пунктуальных флагов 0-мерных подсхем. Кроме того, развиваемый в работе метод последовательного присоединения точек может быть применен для исследования географии обычных схем Гильберта точек HilbdX в размерности 3, т.е. для нахождения неприводимых компонент схем HilbdX при больших значениях d и вычисления их размерностей.
Апробация. Гезультаты диссертации докладывались на семинаре по алгебраической геометрии при кафедре алгебры Ярославского государственого педагогического университета, а также на конференции молодых ученых г. Ярославля в 1998 и 1999 гг.
Публикации. Гезультаты диссертации изложены в двух печатных и двух депонированных статьях [17 - 20].
Структура работы. Диссертация изложена на 55 страницах и состоит из настоящего введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 20 наименований.
Дадим теперь краткий обзор содержания диссертации по главам.
Глава 1.
Эта глава носит подготовительный характер. Она является введением в общую геометрию и географию схем Гильберта точек и пунктуальных схем Гильберта, а также содержит краткое изложение некоторых известных результатов, используемых в дальнейшем.
Глава 2.
Эта глава посвящена описанию пунктуальных схем Гильберта длины d = 5 в размерности
2, т.е.схем Н5(0) = Hilb5 Spec Л:[[жх, л;2]]- Согласно классификации Бриа.нсона [2] имеются

Отсюда, в частности, следует, что Torfx*(A4,k(x)) = к, х Є W. Тем самым, если Y := SuppT ф- 0, то, умножая тензорно точную тройку (6) на к(ж), х € У, получаем точную последовательность к —> Т ® к(х) —> Л: — /с —0, откуда Т ® к(х) ~ к, т.е. Т - обратимый пучок на некоторой схеме с носителем Y. Таким образом, имеет место
Следствие 2.3. Имеет место точная тройка (6), где Л4 - обратимый пучок на п-кратном дивизоре W для некоторого п > 1, т.е. на подсхеме Wn в Х±, определяемой пучком идеалов Tw„,x4 — С>х4(—nW), а пучок Т - либо нулевой, либо является обратимым пучком на некоторой подсхеме Y размерности < 1 с носителем SuppT С W.
Заметим теперь, что согласно [16, предложение 2.2], точна тройка
О —» Öd{—Тг) -Л- кТ3 -А Ох4[—тз) — 0, (8)
где D - дивизор на Ха вида D = 7rJ1(?o) = {{Z2, Z3, Z4) Є Х4 | Z3 не является локально полным пересечением}, а io - исключительная прямая на Х3. В частности, согласно основной теореме из [16]
0X4(D) = 0X4(t3-2t2). (9)
Далее, рассмотрим кривую С = D П W. Так как дивизоры D и W неприводимы и пересекаются вдоль С трансверсально, покажем, что композиция морфизмов Оц(—т2) ъТъ —tTorsi) А-М (см. (4), (8), (6)) равна нулю. В точной последовательности (4) Ох4(—74) — lr4V, тогда, согласно следствию 2.2, kere = imh = TorsT4. Образ композиции e-h-e 1 как подпучок в М с одной стороны имеет носитель в W, а с другой стороны - как факторпучок пучка Od(—т2) имеет носитель в D. То есть этот образ (если он ненулевой) имеет носитель в С, но A4 как пучок чистой размерности 2 не содержит подпучков размерности < 1. В итоге получаем требуемое зануление композиции.
Следовательно, определен морфизм h! : Öd(—т2) —> Т такой, что і h' = h ei, и соответственно эпиморфизм h" : 0Хі{—г3) -» М такой, что h" е2 = е h.
Тем самым, ввиду замечания 2.3 М. = Ow„(~тз), и тройки (8) и (6) включаются в коммутативную диаграмму