Свободные абелевы расширения Sp-перестановочных алгебр

• Автор: Жданович, Павел Борисович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Волгоград
• Количество страниц: 101 с.

Содержание
Введение

Глава I. Коммутаторы и абелевы конгруэнции в конгруэнц-

модулярных многообразиях

§1. Коммутаторы конгруэнций и абелевы алгебры

§2. Абелевы расширения и разрешимые алгебры

§3. Клоны операций

Глава II. Свободные абелевы расширения в конгруэнц-пе-

рестановочных многообразиях

§1. Свободные абелевы расширения

§2. Свободная разрешимая алгебра

Глава III.Конструкция свободных абелевых расширений 5Р-
перестановочных алгебр
§1. Построение свободного абелева расширения
§2. Свободные абелевы алгебры
Глава IV. Свойства свободных абелевых расширений .^-перестановочных алгебр
§1. Свободные абелевы расширения р-алгебр
§2. Элементы свободных абелевых расширений
§3. Свободные абелевы расширения как модули над предад-
дитивными категориями
§4. Равенства слов в свободных абелевых расширениях

Глава V. Разрешимые 5р-перестановочные алгебры
§1. Тождества на многообразиях разрешимых алгебр
§2. Гомоморфизмы свободных разрешимых алгебр
§3. Свойство Хопфа
Литература

Введение
В настоящее время активно развивается одно из важных направлений в универсальной алгебре, в рамках которого изучается связь решеток конгруэнций алгебр данного многообразия с термальными операциями на алгебрах. Начало этих исследований связано с известной теоремой А.И. Мальцева [7], утверждающей, что многообразие является конгруэнц-перестановочным тогда и только тогда, когда существует тернарный терм р от основных операций, такой, что на данном многообразии выполнены тождества р(х,х,у) = р(у,х,х) = у. Дальнейшее развитие в этом направлении связано с работами Дея [23], Ионссона [28], Пиксли [39], в которых найдены аналогичные условия, характеризующие конгруэнц-модулярные, конгруэнц-дистрибутивные и арифметические многообразия, а также с целым рядом других работ.
В конце прошлого века, благодаря результатам Гумма, Маккензи, Смита, Фриза, Геррманна, Хагеманна и других исследователей, возникла теория коммутаторов, которая нашла важное применение при изучении конгруэнц-модулярных многообразий. Систематическое изложение этой теории можно найти в книге [25], а также в монографиях [11], [2]. Понятие коммутатора конгруэнций обобщает соответствующее понятие в группах и кольцах. В терминах коммутаторов дается определение центра алгебры, которое совпадает в группах с классическим определением центра. Обобщены также понятия абелевой, разрешимой и нильпотент-ной алгебр. В любом конгруэнц-модулярном многообразии класс абелевых алгебр, а также класс разрешимых (нильпотентных) алгебр степени не более к для фиксированного натурального числа к являются многообразиями. Свойства этих многообразий и отдельных алгебр активно

Пусть а Є А. Тогда
/ечп, ..ап),е)(а) = і{дг * * , п * . . - )
— ■ ■ ■ ■> 9п) І.9] (®1> ■ • • > ег-1; ^г+1) • ■ • > ет)) Т
+^1,...,рп) = Е"=1 ( (^ь • • • ’ д^-ь е> 9}+1 • • • > Рп) (а) +
+ §(рТ, ••■,<м) (^(е))) + *(зъ---.&0 =
Е,=1 ( (^1 > ■ • ' > 9] — Ъ ®1> • • • ) ег-1) °) ег+Ъ • • • ) еші 9]-1і ■ ■ ■ і 9п)
ї(9і і • • ■ і 9]—1і 9] (®) ) ^ — 1 > • • •) Рп) Т і (рі> • ■ • ) 5.7 — 1і 9] (®) > 5^ — 1) • • • ) Рп)
Из предложениия 2.1.11 следует, что конгруэнция сэ абелева, вследствие чего Б/и является абелевым расширением А.
Обозначим через р дробную конгруэнцию /?/ш, и пусть р(а) — £-1([а]а), где а £ А.
Предложение 2.1.12. Конгруэнция р абелева.
Доказательство. Пусть е : Б —¥ Б/и - естественный гомоморфизм. Тогда
Таким образом, каждая пара вида (2.19) принадлежит Кегф □
є 1([Р»/°]) = [£ р),е :(р)]у и) = [/3,(3]Уи = ш.

В силу того, что пары (2.20) принадлежат со, будем обозначать /|це)(е() через Де,..., е'п) для всех е е Еп, е( е Е', ] = 1,...,п. Пусть