Короткие тригонометрические суммы с нецелой степенью натурального числа

• Автор: Рахмонов, Парвиз Заруллоевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 70 с.

Оглавление
Обозначения
Введение

1 Оценка коротких тригонометрических сумм с нецелой степенью натурального числа

1.1 Известные леммы

1.2 Оригинальные леммы

1.3 Короткие тригонометрические суммы с нецелой степенью натурального числа

1.4 Поведении короткой тригонометрической суммы с нецелой степенью натурального числа в окрестности нуля

2 Обобщенная тернарная проблема Эстермана для почти равных слагаемых

2.1 Вспомогательные утверждения

2.2 Поведении короткой линейной тригонометрической суммы с простыми числами в окрестности нуля
2.3 Обобщенная тернарная проблема Эстермана для почти равных
слагаемых
2.3.1 Доказательство теоремы 2.2. Разбиение интеграла
2.3.2 Оценка интеграла /(т+)
2.3.3 Оценка интеграла /(тп_)
2.3.4 Вычисление интеграла /(9ЛД
Литература

Обозначения
е(а) = е2та = cos 2тга + і sin 2тта. с, сі, С2, -положительные постоянные. е-положительные сколь угодно малые постоянные. х - положительное вещественное число.
N - натуральное число.
Jz? = ln х в первой главе.
££ — ln N в второй главе.
А (п) - функция Мангольдта.
тт(х) - число простых чисел, не превосходящих числа X.
C(s) - дзета функция Римана, s = а + it.
N(T) - число нулей £(s) в области 0 < Ims < Т.
N(u, Т) - число нулей C(s) в области Res > и > 0, 5, 0 < Ims < Т. [х] - целая часть числа х.
{х} - дробная часть числа х.
||х|| = min ({х},1- {ж}4) - расстояние до ближайшего целого числа.

Введение
Основным предметом исследований, составляющих содержание диссертации, является изучение поведения коротких тригонометрических сумм с нецелой степенью натурального числа и вывод асимптотической формулы в обобщенной тернарной проблеме Эстермана для нецелых степеней с почти равными слагаемыми о представлении достаточно большого натурального числа в виде суммы двух простых и целой части нецелой степени натурального числа. Тригонометрические суммы впервые появились у Гаусса при доказательстве закона взаимности квадратичных вычетов. Он исчерпывающим образом исследовал важнейшие свойства носящей его имя “суммы Гаусса”. Тригонометрические суммы в дальнейшем стали мощным средством решения ряда важных проблем теории чисел. При этом, основной в отношении таких сумм стала проблема разыскания их возможно более точной оценки, то есть возможно более точной верхней границы их модуля.
Далее были исследованы полные рациональные тригонометрические суммы вида
где /(х) = апхп +... + а,1Х, п > 1, (ап
|5| < пу/р.
Первые оценки суммы (1) в случае составного (/ были даны Хуа [2, 3, 4, 5]. Он установил неравенство вида
|5| < с(та)д1-".

Далее, подставляя эти оценки соответственно в правую часть найденных выше оценок для А и Д2 получим
— <£ А 2Н+1-2 (1П)аИ+1-2 * <С _£? А,
(2ІЙ1 —2) А (2ІС3 —2) А
Д2 <С-(ЬА?)"1 -.і?”1 + 2г? >м+І-* <с2|г,+1.

Подставляя эти оценки для Дх и Д2 в (1.3.12), имеем |5с(а;ж,у)| < у (дх + у~21 и (афс)-1)2И+1-2 Д2 +
2г?л
(2-2 )А

-С у ( 28?'“л + у-2'~М (хфс}-1) £>1Я ) + Л-
С2Н_2)А '
2І-Й
У &А
(я:{с}-1)«-*ї-м22?2М ‘А-2г? *-2И У

(3 -4)Л ’
У / (ж{с} !)4-22-М 4-22-!

Полученную оценку представим в следующей удобной форме
Sciot; X, у)I <
01 — [с]
У Ґ А , 2у
Д?л у) ‘ 2г?л’
(3.21Ч _4)д
Д = (ж{с}_1)2-и 28? 4-22-и
(1.3.13)
При выводе оценки (1.3.13) мы использовали соотношение у > /2сх 2г?л. Теперь имея в виду, что
1п28?
С ><5
5 = 5(х,с,А), 5 = (2+1 - і) {А + 1)
28? ’
покажем в зависимости от величины параметра с выполнение следующего неравенства:
Ж2, при с > 2;
Д < < І2схіГГа, при 1 1 < с < 2;
х* Д?Л+0>5, при 1 < с < 1,1.
(1.3.14)