Некоторые числовые характеристики разрешимых групп и алгебр

• Автор: Смирнова, Евгения Геннадьевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Омск
• Количество страниц: 53 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Разложение элементов свободной метабелевой
группы в произведение примитивных элементов.
1.1. Определения примитивного элемента, примитивной ширины элемента, примитивной ширины группы
1.2. Разложение элементов свободной абелевой группы ранга п
в произведение примитивных элементов
1.3. Разложение элементов коммутанта свободной метабелевой группы ранга 2 в произведение примитивных элементов
1.4. Разложение элементов свободной метабелевой группы ранга
2 в произведение примитивных элементов
1.5. Разложение элементов свободной метабелевой группы ранга
п > 3 в произведение примитивных элементов
Глава 2. Ширина степени свободной нильпотентной группы
ступени 2.
2.1. Понятие ширины вербальной подгруппы
2.2. Вычисление ширины квадрата свободной нильпотентной группы
2.3. Вычисление ширины произвольной степени свободной нильпотентной группы
Глава 3. Об элементарной эквивалентности свободных ассоциативных алгебр.
3.1. Вычисление ширины квадрата свободной ассоциативной алгебры
3.2. Об элементарной эквивалентности свободных ассоциативных
и свободных ассоциативных нильпотентных алгебр
Литература

Введение
В настоящей диссертации изучаются свободные группы разрешимых многообразий, а именно, вычисляются некоторые их числовые характеристики. Так, например, оценена примитивная ширина свободной метабелевой группы и точно вычислена вербальная ширина произвольной степени свободной нильпотентной группы ступени 2 конечного ранга. Так же с помощью вычисления вербальной ширины квадрата свободной ассоциативной алгебры решен вопрос об элементарной эквивалентности свободных ассоциативных алгебр.
Приведем основные результаты:
1. Произвольный элемент свободной метабелевой группы ранга п > 3 раскладывается в произведение не более четырех примитивных элементов. Произвольный элемент свободной метабелевой группы ранга 2 представим как произведение трех примитивных элементов, и эта оценка неулучшае-ма.
2. Ширина четных степеней свободной нильпотентной группы ранга п ступени 2 равна 2[п/2]+1. Ширина нечетных степеней свободной нильпотентной группы ранга п ступени

2 равна 1.
3. Ширина квадрата свободной ассоциативной алгебры ранга г над произвольным полем равна г. Следовательно, свободные ассоциативные алгебры различных конечных рангов элементарно не эквивалентны.
Перейдем теперь к более подробному обзору содержания диссертации.
Основной результат главы 1 - доказательство того, что примитивная ширина свободной метабелевой группы произвольного ранга конечна, и ее оценка.
В п. 1.1. вводятся понятия примитивного элемента, примитивной ширины элемента и примитивной ширины группы, свободной в некотором многообразии.
Пусть Рп - свободная группа ранга п. Тогда = С„(У) = П/У - свободная группа ранга п в многообразии групп, определенном множеством тождеств V.
Элемент д £ называется примитивным тогда и только тогда, когда его можно включить в некоторую базу д =
из [6] любой элемент из коммутанта представляется в виде произведения [2т/2] — т коммутаторов:
= (2) С1)(с4, Сз)...(с2уд, С2т—3.)-Если / = /1 , то определив эндоморфизм
(р : Х —> С1,
полупим равенство
л = И = (/П2-(/Л2.
Докажем, что х2) = 2т + 1. Представим / в виде
произведения 2т + 1 квадрата, например, следующим образом: / = ЦЙ-Йт+Ь гДе
/*1 — Ъ
Ьв = /_1Ж2/ж281+1Ж2ф1+3...Ж2„1г_1, (5 = 1, ГП — 1),
/28+1 = Ж28Ж25+1Ж25+з...Ж2т-1, (« = 1, 2, 3,4,
/2ш — х2т-1х2т>