К теории упорядоченных полей и групп

• Автор: Пестов, Герман Гаврилович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 262 с.

I ЛИНЕЙНО УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПОЛЯ

Глава 1. Виды сечений в упорядоченном поле

1.1 Об архимедовской эквивалентности элементов поля

1.2 Алгебраические сечения

1.3 Длинные и короткие берега. Симметричные сечения

1.4 0 заполнении сечений

Глава 2. Внешние и внутренние определения типов сечений

2.1 О внешних и внутренних определениях

2.2 Внешние определения типов сечений

2.3 Определимые сечения

Глава 3. Некоторые множества, связанные с сечениями

3.1 Определения и свойства множеств, порожденных сечением
3.2 Связь сечений в упорядоченном поле с сечениями в его архимедовской
группе
Глава 4. О значениях многочлена в окрестности сечения
* 4.1 Поведение многочлена в окрестности произвольного сечения
4.2 Поведение многочлена в окрестности симметричного сечения
Глава 5. Простые расширения упорядоченных полей
5.1 О заполнении трансцендентных сечений
5.2 О заполнении симметричных сечений
Глава 6. Теорема об изоморфизме упорядоченных полей
6.1 Конфинальность множеств и сечений
6.2 Достаточные условия изотонного изоморфизма
Глава 7. Об архимедовски замкнутых полях
• 7.1 Первоначальные определения
7.2 О сечениях в архимедовски замкнутых полях
7.3 Некоторые алгебраические свойства а—полей
7.4 Архимедовские замыкания
7.5 О полях формальных степенных рядов
7.6 Сечения в поле формальных степенных рядов
Глава 8. Дальнейшая классификация сечений
8.1 Типы берегов сечения
8.2 Внутренние определения типов
8.3 Типы сечений
8.4 Примеры сечений четырех типов
8.5 О типах алгебраических сечений
Глава 9. О подполях упорядоченного поля
9.1 Второе отношение эквивалентности в упорядоченном поле
9.2 Классы [а]
9.3 Г—подполя
9.4 Признак плотности поля в своем вещественном замыкании
9.5 Признак вещественной замкнутости поля
Глава 10. О замыканиях упорядоченных полей
10.1 Определения замыканий упорядоченных полей
10.2 О построении замыканий упорядоченных полей
Глава 11. Порядковые характеристики групп и полей
11.1 Конфинальность сечений в упорядоченном поле и в его группе архимедовских классов
11.2 ^„—множества, группы и поля
Глава 12. Поля ограниченных формальных рядов
12.1 Предварительные замечания
12.2 Исследование сечений в поле ограниченных формальных рядов
12.3 0 нестандартной вещественной прямой
II ЦИКЛИЧЕСКИ УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ
Глава 14. ДВУМЕРНЫЙ ПОРЯДОК
14.1 К определению двумерного порядка
14.2 Двумерный порядок как обобщение ориентации К2
14.3 Функция 2-порядка
14.4 Аксиоматика двумерного порядка
14.5 О реализуемых четверках
14.6 О прямых в 2-упорядоченном множестве
Глава 15. ОБОБЩЁННО ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
15.1 Определения и свойства
15.2 Обобщенные степени и коммутант
15.3 Множество обобщенно периодических элементов группы
15.4 Представляющие подгруппы
Глава 16. ЦИКЛИЧЕСКИ УПОРЯДОЧЕННЫЕ ГРУППЫ
16.1 Циклический порядок
16.2 О циклически упорядоченных группах
16.3 Верхний конус группы
16.4 О классе циклически упорядочиваемых групп
III 2-УПОРЯДОЧЕННЫЕ ПОЛЯ
Глава 17. ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
17.1 Определение 2-упорядоченного поля. Примеры
17.2 Стандартный 2-порядок в алгебраически замкнутом поле характеристики нуль
17.3 База 2-порядка
17.4 Верхний конус порядка
Глава 18. ВЕРХНИЙ КОНУС ПОЛЯ И СВЯЗАННЫЕ С НИМ МНОЖЕСТВА
18.1 Верхний конус поля
18.2 База верхнего конуса как упорядоченное поле
18.3 Задание 2-порядка с помощью верхнего конуса
18.4 Отношение частичного порядка в верхнем конусе
4.2 Поведение многочлена в окрестности симметричного сечения.
Теорема 4.2.1. Пусть [А, В) - симметричное сечение в упорядоченном поле K,f(x)eK[x.
Если сам многочлен /(х) и все его производные не меняют знака на сечении [А, В), то найдутся такие а є А,Ь Є В, что для каждого упорядоченного расширения Р поля К
(1) f(x) > 0 всюду на [а,Ь]р, или f(x) < 0 всюду на [а, Ь]р,
(2) /(х) строго монотонно на [а, Ь]р,
« (3) Все значения /(х) при х Є [а, Ь]р архимедовски эквивалентны.
Доказательство, п.1. Пусть условия теоремы выполнены. Тогда для каждого натурального т,0 < т < п — 1, многочлен /*т>(х) удовлетворяет условиям теоремы 4.1.1. Поэтому найдутся ат Є А,0т 6 В, удовлетворяющие заключению теоремы 4.1.1. Пусть Р - расширение поля К. имеем
(1) /(т)(х) > 0 всюду на [ат,(Зт]р, или /<т)(х) < 0 всюду на [am,/3m]p,
(2) /(ш'(х) строго монотонно на [am,/3m]p.
Обозначим: ап = maxam,b„ = min/3m.
т т
На сегменте [а„, Ьп]р каждый многочлен /(т)(х),0 < т < п - 1, строго монотонен и не обращается в нуль.
п.2. Докажем, что для каждого натурального т,0 < т < п, существуют ат,Ьт,
* такие что am+i < ат < Ът < Ьт+1, и на сегменте [am,fem]p все значения многочлена
архимедовски эквивалентны^).
Доказательство утверждения (*) ведем индукцией по т от п до 0.
1) При т-п многочлен /(n)(æ) есть ненулевая константа, поэтому все значения этого многочлена архимедовски эквивалентны всюду, в частности, на сегменте [ап,Ьп]р.
2) Пусть утверждение (*) выполнено для всех тп,0 < & + 1 < т < п. Прежде всего, найдем ак Є А,Ьк е В.
Возможны два случая:
(e)|/«(a*+i)l < |/«(fe*+1)|,(è)|/(*Wi)l > /М(Ьк+1).
Заметим, что знак равенства здесь невозможен в силу строгой монотонности fW(x).
* (а)Пусть,сначала, j/(fe)(at+i)| < |/(fc)(b4+i)|. Тогда |/(fe)(æ)| строго возрастает на [а)е+і,Ь*.+і]р. По условию теоремы, сечение [А, В) - симметрично, поэтому берега А и В - длинные. По определению длинного берега, найдется такое ак Є А,ак+1 < ак, что (ак + (ак - Оі+і)) Є В. Обозначим: Ьк = тт{Ьк+1,ак + (ак - afc+1)}.
Пусть [afc < £ < Ьк],і - 1,2. Тогда
ак — ак+і < Çi — ак+і < 2(aj. — ак+і).