Автоморфизмы группы гомоморфизмов абелевых групп

• Автор: Коновалов, Владислав Борисович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 86 с. : ил

Содержание

Некоторые обозначения.

Введение.
ГЛАВА I. Группа AutHom(A, В) и ее подгруппы, индуцированные автоморфизмами групп А и В.

1.1 Определения и известные результаты

1.2 Свойства отображений абелевых групп

1.3 Свойства подгрупп Â и В'

1.4 Подгруппы А* и В* для конечных циклических групп. .

ГЛАВА И. Мономорфизмы и эпиморфизмы в некоторых классах абелевых групп, их связь с подгруппами А* и 5* группы AutHom(A, В).

2.1 Предварительные леммы

2.2 Характеризация мономорфизмов и эпиморфизмов в некоторых классах абелевых групп. Совпадение групп А* и В*
с группами автоморфизмов групп А и В
ГЛАВА III. Мономорфизмы и автоморфизмы в некоторых классах абелевых групп без кручения.
3.1 Группа автоморфизмов однородно разложимой группы. .
3.2 Существование мономорфизмов вполне разложимых групп
без кручения
Приложение 1. Disser.exe
Приложение 2. Disser.dpr
Приложение 3. Dis.pas
Литература.

Некоторые обозначения
Нот(А, В) - группа гомоморфизмов группы А в группу В
АиЬА - группа автоморфизмов группы А
1а - тождественный автоморфизм группы А
Е(А) - кольцо эндоморфизмов группы А
е - тождественный автоморфизм группы Нот(А, В)
Кегф - ядро отображения ф 1тф - образ отображения ф о(а) - порядок элемента а == - изоморфизм
N - множество натуральных чисел
Ъ - кольцо (группа) целых чисел
«2 - кольцо (группа) рациональных чисел
г(п) - кольцо (группа) вычетов по модулю п
ф - прямая сумма
1"! - прямое произведение
х(а) ~ характеристика элемента а группы А
1(а) - тип элемента а группы А
£(А) - тип однородной группы А
Ьр(а) - ^-высота элемента а
г (А) - ранг группы А
го(А) - ранг без кручения группы А

Введение
Актуальность темы. При изучении алгебраических систем большую роль играют отображения этих систем, среди которых особое значение имеют гомоморфизмы и автоморфизмы.
Тот факт, что множество всех гомоморфизмов из одной абелевой группы в другую образует абелеву группу Нот(А, В), оказался исключительно важным. Кроме того, группы гомоморфизмов можно рассматривать как функторы, особая роль которых была установлена С. Эй-ленбергом и С. Маклейном в [Е]. Алгебраическое строение группы Нот(А, В) известно только в некоторых частных случаях. Основные результаты здесь были получены P.C. Пирсом в [Р], который нашел инварианты группы Нот(А, В) как алгебраически компактной группы в случае периодической группы А.
В последние годы тематика, связанная с группой Нот(А,В) и вообще гомоморфизмами абелевых групп, приобретает все большую актуальность. Изучению строения групп гомоморфизмов абелевых групп и исследованию их свойств посвящены работы JI. Фукса, П. Гроссе, П. Шульца, Л.И. Власовой, С.Я. Гриншпона, П.А. Крылова, А.М. Се-бельдина ([Ful]-[G], [S], [Вл], [Г], [Кр], [С]). Подобная тематика проявляется и в исследованиях алгебраических систем, близких к абелевым группам. Например, А.И. Купцовым изучались свойства полугруппы эндоморфизмов коммутативной регулярной полугруппы ([Ку]). Отметим также, что обзор большого количества работ, связанных с гомоморфизмами абелевых групп, содержится в [Ми].
Важное значение в теории групп имеет группа автоморфизмов. Следует отметить, что почти все прошлое столетие группы воспринимались как группы автоморфизмов, и прошло много времени, пока было осознано, что группу можно рассматривать и абстрактно, независимо от объекта, на котором она действует. Ясно, что для абелевой группы А группа автоморфизмов AutA есть группа обратимых элементов кольца эндоморфизмов этой группы и дает меньше сведений о группе, чем

Пусть Ъ Є В, тогда Ь — ЕШ.?Е гДе і Є ^ и лишь конечное чис-ло ті отлично от нуля. Для каждого } Є / существует ij Є I такое, что f(aij) = Ьу Пусть а = ^ті0и{а1))ач- Рассмотрим ф"(а) =
jєJ >
уаь) = = Е^/К) = ЕА = й-
5ЄД ш^eJ ІЄД ІЄ/
Итак, получили, что ф" - эпиморфизм.
Рассмотрим отображение ф — ф"ф'. Так как ф' и ф" - эпиморфизмы,
то и ф - также эпиморфизм, причем ф : А —> В □.
Лемма 2.2 Пусть ТІі,ТІ2,ШІі, ТЛ2 кардинальные числа такие, что
Дії > Ши т2 < шг2,
Тії + Т12 < Ш1 + Ш12.
Тогда существует такое кардинальное число 01*, что
Ші + т* = тіь
ТІ2 + ТГ < Ш2.
Доказательство. 1. Пусть 9Лі - бесконечное кардинальное число. Покажем, что ОІ1+ОТ2 < Ш2. Так как Ші - бесконечное кардинальное число, то Тії - также бесконечное кардинальное число, тогда Тїі+ШІї = Тії. Предположим, что ООП + Ш2 = Ши откуда имеем:
Ш2 < Ші < ОІі, и, значит, Ш2 < Тії;
Т12 < Ш2 < Тії, и, значит, ТТ2 < Тії.
Отсюда следует, что Тії + Т12 = Тії < Ші ■+ Ш2 = ЯЛі, но это означает, что ОТі < Ши получили противоречие с условием. Тогда имеем Ші + Ш2 = Ш2, следовательно, Тії + Т12 < Ш2. Учитывая, что Тії + Ш — Тії, положим ТІ* = Тії.
2. Пусть Ші - конечное кардинальное число. Возможно два случая: а) Ш12 _ конечное кардинальное число; б) Ш2 - бесконечное кардинальное