Теоремы Гуревича для толерантных пространств

• Автор: Коробченко, Елена Витальевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 128 с.

Оглавление
Введение
1 Основные понятия
1.1 Категории толерантных пространств
1.2 Группы гомологий толерантных пространств
1.3 Толерантные гомотопические группы
2 Пространства толерантных путей и толерантные расслоения
2.1 Пространства толерантных путей
2.2 Толерантные расслоения
2.3 Толерантные расслоения пространств толерантных путей
3 Спектральная последовательность Лере-Серра толерантного квазирасслоения толерантных путей
3.1 ТС кубы с вершинами в линейно связном подпространстве
3.2 ТС кубы в толерантном квазирасслоении толерантных путей
3.3 Построение спектральной последовательности толерантного квазирасслоения толерантных путей
3.4 Точная гомологическая последовательность Серра
4 Теоремы Гуревича для толерантных пространств
4.1 Доказательство теоремы Гуревича для толерантных пространств
4.2 п-связные толерантные расслоения и квазирасслоения
4.3 Обобщенная теорема Гуревича для толерантных пространств
Заключение
Литература

Введение
Основной целью диссертационной работы является доказательство теоремы Гуревича и обобщенной теоремы Гуревича для толерантных пространств, устанавливающих связи между толерантными гомотопическими и гомологическими группами. При этом доказательства этих теорем получены с помощью метода разработанного Ж.П. Серром, который удалось перенести в теорию толерантных пространств.
Коротко охарактеризуем предмет диссертационного исследования. В последние десятилетия были разработаны ряд направлений исследований, использующих категорную и алгебро-топологическую технику для изучения дискретных по своей природе объектов, таких как автоматы, дискретные системы управления, вычислительные сети, параллельные вычислительные процессы, формальные лингвистические системы и др. В настоящее время наиболее разработанными являются два направления, идейно и технически близкие друг другу. Первое из этих направлений связано с теорией толерантных пространств и представлено в работах Доукера, Зимана, Мюира, Уорнера, Арбиба, Шрейдера, Небалуе-ва и др. Второе же направление систематически использует теоретико-категорные методы и представлено работами Губо, Гоше, Иенсена, Шилдса, Хусайнова и др. Оба эти направления представляются весьма перспективными, активно развиваются в России и за рубежом и вызывают интерес специалистов разных направлений. Диссертационная работа развивает первое из указанных выше направлений.
Методы гомологической алгебры в теории отношений первым применил Доукер в работе [41] 1956 года. При этом Доукера интересовали введенные им группы гомологий отношений с точки зрения их приложений к алгебраической топологии. Затем в 1962 году Зиман в работе [48] определил отношения толерантности, которые оказались интересными как с математической, так и с прикладной точек зрения. Зиман в своей работе применил алгсбро-топологические методы' для построения математической модели зрительного анализатора. Эта математической модель должна была отражать непрерывную и дискретную стороны в работе зрительного анализатора, и учитывать порог чувствительности модели-

руемого объекта. Решая эти задачи, Зиман- определил толерантное пространство, представляющее собой пару, состояющую из произвольного множества, которое может быть как континуальным, так и дискретным и конечным, и бинарного отношения толерантности, которое должно быть рефлексивным и симметричным, и которое определяется наличием порога чувствительности. Понятно, что толерантные пространства получаются везде, где присутствуют приближенные измерения и вычисления. Такие пространства состоят из множеств, на которых заданы метрики, а пары точек в этих множествах принадлежат отношениям толерантности, если они удалены друг от друга не более, чем на некоторую фиксированную величину, определяемую точностью измерений и вычислений. Введенные Зиманом отношения толерантности стали интерпретироваться как наиболее общая систематическая модель схожести, и интерес к ним проявили специалисты самых разнообразных направления, таких как теория автоматов, дискретные системы управления, математическая лингвистика и др. (см. работы [1], [40], [44]- [47], [37], [38]).
В 1970 году вышла в печати важная работа Зимана и Бьюнемана [3], в которой ряд интересных вопросов, имеющих прикладное значение, были сформулированы как математические задачи гомологической теории толерантных пространств. Однако, решение этих задач тормозилось неразвитостью теории гомологий толерантных пространств и отсутствием сколь-нибудь продвинутого варианта гомотопической теории. Тем не менее, ситуация постепенно менялась. В частности, в серии работ Небалуева С.И. и соавторов (см. библиографию) была построена достаточно развитая гомологическая и гомотопическая теория толерантных пространств, с помощью которой удалось решить некоторые из задач, сформулированных в работе [3]. Одним из результатов развития гомотопической теории толерантных пространств было построение теории толерантных накрытий, включающей теорию толерантных накрывающих преобразований. Теория толерантных накрытий является перспективной и с точки зрения приложений, т.к. по мнению Зимана и Бьюнемана (см. работу [3]) толерантные накрытия и, более обще, толерантные расслоения являются подходящим инструментом для описания неоднозначности в поведении сложных систем. Следующий этап развития толерантной гомотопической теории связан с построением теории толерантных гомотопических групп и толерантных расслоений (см. [16], [19], [20], [23]). После этого следующей актуальной темой стало изучение связи между толерантными гомотопическими и гомологическими группами. В классической алгебраической топологии этому вопросу посвящены теоремы Пуан-

(рп(а)(д1ш) = х о (2.23)
Т.к. аШ' — сфероид в пространстве (0(Х, хо), ж), для Тс и Т! имеем
а)яо. По определению 2.3 это означает, в предположении с) <(0) что
0*4 = * 7(7)
(7') ~
Чг' ~
” [4()3 ‘
(£жо)пь~#> * = [Ч(*И)]

На Рис. 4 представлены два просто толерантно гомотопных Т пути, которые мы будем рассматривать справа налево. Тогда (рп1,'"'кп~'ш> (ащ>) и
<РпЬ'"'1'г~1,1п!т') представляют собой т-толерантные точки этих путей с толерантными аргументами при условии Здесь и далее
I? ~ (тЛ ‘ ‘ ’ гат) ' то Доказывает (2.22). Свойство (2.23) следует из (2.21) и того факта, что для сфероида ат/(д1ш>) — £.
Покажем, что отображение фп : -лу-ДДХ)) —* лДХ), задаваемое формулой:
ФиЦаш'}) = к(ащ')], (2.24)
где аш> произвольный сфероид В П(Х, Хо), определенно корректно и является изоморфизмом групп фп : 7ГП_1(П(Х)) = 7Гте(Х).
Корректность (2.24) означает, что для толерантных сфероидов а_,(1) ~ имеет место
фп{аггат) - (2-25)
Согласно определению 1.14 для сфероидов и аД/и
(3М' > тЧ ; = 1, 2) - аж-,(2)(ге1 д1ж).
Достаточно ограничиться рассмотрением простой толерантной гомото-пии
«Ж'.ш'П) ~ ЧГ,™'® (ге/ 81ж). (2.26)