Распределение значений арифметических функций

• Автор: Гияси, Азар Ходабахш
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 67 с.

ГЛАВА I. ОЦЕНКИ НЕПОЛНЫХ СУММ

§1. Введение

§2. Оценки неполных сумм произведений символов Лежандра

2.1. Формулировка задачи.

2.2. Разложение в ряд Фурье.

2.3. Оценка суммы произведений символов Лежандра по различным простым по “сдвинутым переменным”.

§3. Оценки неполных сумм Гаусса

3.1. Оценки по методу И.М. Виноградова.

3.2. Разложение неполной суммы Гаусса в ряд Фурье.

3.3. Вычисление значения обобщенной полной суммы Гаусса.

3.4. Ряд Фурье еще одной неполной суммы Гаусса.

3.5. Ряд Фурье неполной суммы Гаусса по модулю, равному полному квадрату простого.
§4. Оценки неполных кратных сумм Гаусса
4.1. Моменты неполной двойной суммы Гаусса.
4.2. Моменты неполной двойной суммы Гаусса с различными характерами.
ГЛАВА II. ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ А. О. ГЕЛЬФОНДА, КАСАЮЩЕЙСЯ ОДНОГО ОБЩЕГО СВОЙСТВА СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ
§1. Введение
§2. Асимптотика первого момента и оценка сверху дисперсии функции 5д'(а).
§3. Доказательство теоремы
§4. Некоторые следствия
Список литературы

ОБОЗНАЧЕНИЯ
с, С, С, С^х,... — положительные абсолютные постоянные. с(а, в 6) — некоторая положительная постоянная, зависящая от а, /3,... ,6.
Е,Е1,е 2,... — СКОЛЬ угодно МЭЛЫв ПОЛОЖИТвЛЬНЫв постоянные величины.
к, I, т, п, г, в, ^ — целые или натуральные числа. р, д — простые числа.
Для теоретико-числовых (арифметических) функций т(п), а(п), <р(п),... используются устоявшиеся обозначения.
Штрих в знаках сумм означает, что на переменные суммирования наложены некоторые ограничения, часто, это условия взаимной простоты значений этих переменных с некоторым натуральным числом, большим единицы.
Символы {х},[х] обозначают соответственно функции дробная и целая части числа х.
При положительном значении В символические записи А В, А = О(В) означают, что при некоторой положительной постоянной справедливо неравенство
А < сВ.
Нумерация формул в каждой главе своя.

Важнейшим вопросом аналитической теории чисел является исследование аддитивной и мультипликативной структур множества натуральных чисел. Основным инструментом для получения результатов в этой области служит теория функций натурального аргумента или теория теоретикочисловых (арифметических) функций.
Мощным методом решения задач теории распределения значений функций вещественной переменной является метод тригонометрических сумм вида
$ = £ /(*! *,)= Е е2жиР{Х1 Ч
(XI хг)£П {х Яг)€Л
где наборы (х1 хг) пробегают значения из дискретного множества О, t — вещественный параметр и Дад, ...,хг) — веществепнозначная функция.
И.М. Виноградову [1, 2, 3, 4] принадлежат первые постановки задач о распределении значений функций и их решении с помощью метода тригонометрических сумм. Он писал: “Из весьма разнообразных более частных видов этой в столь общей формулировке поставленной проблемы (проблемы распределения значений функций), получаемых при тех или иных ограничениях, налагаемых как на функцию /(х хг), так и на совокупность Г2, мы выделим три достаточно большие и весьма важные для теории чисел проблемы
1. Весьма важной является проблема распределения значений показательной функции
Нхи...,хг)=ёМР'*' Ч
где Е(т — вещественная функция; наиболее
существенным в этой проблеме является установление верхней границы модуля суммы
5 = ЕЛ^--^-)-Е^1’-’1г)
п п

■ • • > ^2г> ПТ-і, • • • і П12г)

Зр(пі, ■ ■ ■ , П2п ЇИіі • • • >
(її +Щ) .. . (Х'і + Пт) 2ті»^1 (п., +...+ШГ—тг+і-..-т;,)

Пусть набор (п-1 пг) является перестановкой набора (тгг+1,... ,п2г), а набор (гп1 тг) — перестановкой набора (тг+[ т2г). Тогда для суммы 5^ = 5Р (пх п2г, пгх т2г) справедливо равенство
где 0 < 9г, до < 1.
Пусть хотя бы одна рациональная функция, стоящая под знаком характера, не является некоторой степенью другой рациональной функции. Тогда в силу оценки А. Вейля имеем
Следовательно из найденных оценок для суммы 5Р, получим
Таким образом доказана теорема.
Теорема 1.4.2.Пусть р — нечетное простое число, целое число а взаимно просто с р, целые числа хі,х2,Ь подчиняются условиям 0 < Х,х2 < р, 0 < Н < р и Хи Хі ~ характеры Дирихле по модулю р.
Рассмотрим двойную сумму
Бр = {р - дгг){р - в2г),
N /Рми* = (г!)ЧО (і)+0 (ж-Ц = (2 гу.+о (1)+0 (^)
БДхих2)= Е Е Хі(п)х2{т)еп—х і+1 т—х 2+1