Свободные частично коммутативные супералгебры Ли

• Автор: Добрынин, Николай Алексеевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 88 с.

Оглавление
Введение
Основные определения и вводные результаты
1. Цветные супералгебры Ли
2. Цветные р-супералгебры Ли
3. Универсальная обёртывающая алгебра для Ь(А, в) и I/{А, в)
4. Формальные ряды
1. Исключение переменных (обычный случай)
1.1. Вспомогательные леммы
1.2. Исключение переменных в свободной супералгебре Ли
1.3. Исключение переменных в свободной частично коммутативной супералгебре Ли
1.3.1. Ещё несколько вспомогательных лемм
1.3.2. Основная теорема
2. Исключение переменных (р-случай)
2.1. Вспомогательные леммы
2.2. Исключение переменных в свободной р-супералгебре Ли
2.3. Исключение переменных в свободной частично коммутативной р-супералгебре Ли
2.3.1. Вспомогательные леммы
2.3.2. Основная теорема
3. Размерности однородных компонент
3.1. Вычисления в М(А, в). Характеристические ряды
3.2. Основная теорема о размерностях однородных комцонент
Литература
Набрано в системе ВТрдХ
Введение
В настоящее время комбинаторная алгебра (комбинаторная теория групп, колец и т. д.) представляет собой активно развивающееся направление с широким спектром приложений как в алгебре, так и за пределами её. Интенсивно развивается алгоритмическая теория алгебраических структур, исследующая существование алгоритмов для решения определённого класса задач (проблемы равенства и вхождения слов, изо-морфность, построение линейных базисов, и т. д.). Большой вклад в этой области принадлежит Д. Нильсену, О. Шрайеру, В. Магнусу, А. Г. Ку-рошу, А. И. Мальцеву, Р. Линдону, М. Шутценберже, Ф. Холлу, М. Холлу, А. А. Маркову, П. С. Новикову, С. И. Адяну, А. И. Кострикину,
A. Л. Шмелькину, А. Ю. Ольшанскому, Ю. А. Бахтурину, Е. И. Зель-манову, А. И. Ширшову, Е. Витту, Л. А. Бокутю, В. Н. Латышеву,
B. Н. Ремесленникову, К. Ройтенауеру, А. Р. Кемеру, О. Г. Харлам-пович, А. А. Михалёву и др.
Успешное применение компьютеров в последние 20—30 лет возобновило интерес к эффективным алгебраическим конструкциям. Были пересмотрены конструктивные результаты, полученные ранее, что привело к формированию новой самостоятельной области — Компьютерной алгебры, — выросшей на стыке математики, вычислительной математики и программирования (см., например, монографии [1,2,5,9,15,16, 26,29,31,45,60,61,63,67,89,91,112,114,129]).
При исследовании в компьютерной алгебре одним из основных моментов является построение алгоритмов, допускающих компьютерную реализацию. Хотя наиболее разработанным в настоящее время является коммутативный случай, за последние несколько лет возрос также интерес к некоммутативной компьютерной алгебре, (см., например, [7,18,38,39,44,51,54,55,62,76,85,87,88,90,92,93,98,108,109, 130-132,140,146,154,156,157,165]), что вызвано как потребностями внутри алгебры, как таковой, так и разнообразными приложениями в теории дифференциальных уравнений и физике.
Идея рассмотрения, наряду с коммутирующими, некоммутирующих

переменных восходит к Грассману (1844 г.) и Клиффорду. Изучение супералгебр Ли началось в 50-х годах нашего столетия. Основными источниками их изучения были теория супермногообразий, теория суперсимметрий, деформации алгебраических систем, гомологическая алгебра, алгебраическая топология [3,6,11,13,14,19,21,40,84,95,97,113,117,119, 128,135-137,145,155,162]. Заметим, что свободные супералгебры Ли естественным образом возникают в теории гомотопий при рассмотрении гомотопических групп с произведением Уайтхеда.
Систематическое изучение свободных алгебр Ли впервые было начато М. Холлом. Именно, в 1950-м году он построил базис свободной алгебры Ли, ныне известный как базис Холла [96]. Позже, в 1958-м году, был построен базис Линдона - Ширшова [33,56]. Затем различными авторами был построен ряд других базисов [34,48,122,150,151,153,158,160].
Теорема о свободе подалгебр свободных алгебр Ли была получена, основываясь на технике Куроша, А. И. Ширшовым в 1953 г. [32]. Аналогичный результат для свободных колец Ли и ограниченных алгебр Ли был получен Е. Виттом в 1956 г. [163]. Ширшовым была доказана лемма о композиции, которая явилась основой для решения серии алгоритмических задач теории алгебр Ли.
Изучение свободных супералгебр Ли было начато Р. Ри, И. К. Бабенко, И. Л. Кантором, А. А. Михалёвым, А. И. Штерном, А. И. Молевым и Л. М. Цаленко, Г. Мелансоном (см. [3,22,23,27,36,106,123,124,141]).
Отметим статьи, обзоры и монографии, отражающие различные аспекты применения супералгебр Ли в теоретической физике: [41,59,83, 94,99,103,134,161]. Кроме того, 22-градуированные алгебры (супералгебры) успешно применялись в исследованиях по алгебре.
Обобщённые (цветные) супералгебры Ли были введены Р. Ри в 1960 г. [141]. В теоретической физике и теории операторов они естественно возникают как обобщения алгебр и супералгебр Ли [28,116,133,143,144, 148]. Ряд общих аспектов этой теории отражён в обзоре [120]. Начато изучение тождеств в цветных супералгебрах Ли [42,43,47].
Отметим основные монографии, в которых затрагиваются различные аспекты комбинаторной теории алгебр Ли: [10] Н. Джекобсона, [35] Ж.-П. Серра, [4] Ю. А. Бахтурина, [17] А. И. Кострикина, [30] Ю. П. Раз-мыслова, [12] В. Г. Каца, [142] К. Ройтенауера, [49] Л. А. Бокутя и Г. П. Кукина, а также обзор [107] О. Г. Харлампович и М. В. Сапи-ра. По комбинаторной теории супералгебр Ли вышло две монографии: [47] Ю. А. Бахтурина, М. В. Зайцева, А. А. Михалёва и В. М. Петроградского и [127] А. А. Золотых и А. А. Михалёва. По общей теории супералгебр Ли следует упомянуть монографии [149] М. Шойнерта, [6] Ф. А. Березина, [19,20] Д. А. Лейтеса, [69] Б. де Витта.
Для упрощения дальнейших вычислений, для произвольных X Е А, и Е Ц1 (А), и) 6 А , таких что гг = XV, мы пишем
ас! х.и := х(и), ас! т.и := ж(аё у.и).
Слово аdw.ii Е 17 (А) определяется теперь индукцией по своей длине 1А в алфавите А. (Мы, естественно, предполагаем, что £а(П}Р) := Р‘ л() на однородных гг, й(гн) € С?+).
Полупрямое произведение. Пусть (Кр, С, (1к, е) и {17, О, <, е) есть цветные лиевские р-супералгебры. Через Бег 17 будем обозначать множество всех дифференцирований алгебры 17 канонически обращённое в цветную р-супералгебру Ли (см. [127]). Рассмотрим однородный гомоморфизм р: Кр —> Бег 17. Иными словами,
йкр(а) = с?иегьр((й)) для любых однородных а Е Кр, а также
ЛКр(о,Р) = р Бег1,р(р(й)),
для однородных а, йкр(а) Е 0+.
Мы определяем алгебру Мр следующим образом: как линейное пространство, Мр := ф Мр, где взято Мр := Кр $ 17

Если ненулевые однородные элементы ад Е Кр, Ъд Е 17 таковы, что
йкр(ад) = 4р(Ь5) = 9, (13)
то мы задаём с1мр(ад,Ьд) := д. Если либо ад, либо Ъд (но не одновременно) равно 0, то, следуя соотношению (ОП.13), мы доопределяем неопределённые степени с1КР(ад) или ср(Ьг).
Коммутационный фактор е возьмём тем же самым.
Если теперь (#1 ,ух), (х2, Уг) € М, а также
<1мр{{х,У1)) = (1КР(х1) =<1Ьр{у1)
(14)
<1 Мр((х2,У2)) = с1кр{х 2) =С?Ьр(г/2) = ТО, в предположении, ЧТО либо (#1,2/1), либо (х2,р2) не равно нулю, положим
(1, 2/г)(2, 2/2) := (Х1Х2, Ф1)У2 - Кр{х1),йЬр(х2))ц{х2)у1 +У1У2).