Равномерные представления алгебр Каца-Муди

• Автор: Спирин, Сергей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 101 с.

Введение

Работа посвящена введенному автором классу весовых модулей над алгебрами Каца-Муди — равномерным модулям. Одной из особенностей этого класса является то, что нетривиальный равномерный модуль не может быть модулем старшего веса. Равномерные модули представляют собой обобщение модулей без кручения, определенных в работах [4], [6] (см. определение 1.10 настоящей диссертации).
История вопроса. В 1920-х - 1940-х годах в трудах Э. Картана, В. Киллинга, Г. Вейля была получена классификация полупростых конечномерных комплексных алгебр Ли. Каждой такой алгебре была взаимно однозначно сопоставлена целочисленная матрица, удовлетворяющая определенным условиям (матрица Картана). Была выписана система образующих и соотношений, зависящая от матрицы Картана и задающая полупростую алгебру Ли.
В 1968 году В.Г.Кац [1] и Р.В.Муди [2] определили класс алгебр Ли, естественно обобщающий полу простые конечномерные алгебры Ли. Обобщение состоит в снятии одного из условий на матрицу Картана — условия положительной определенности этой матрицы. При этом формулы, определящие по матрице систему образующих и соотношений, остались практически прежними. Получающиеся алгебры Ли называются алгебрами Каца-Муди. Алгебры Каца-Муди бесконечномерны, за исключением тех, чья матрица Картана положительно определена.
Алгебры Каца-Муди и их представления являются популярным объектом исследований. Особенно интенсивно изучались так называемые модули старшего веса над этими алгебрами. Интерес к этим модулям связан, прежде всего, с двумя обстоятельствами. Во-первых, все конечномерные представления конечномерных алгебр Каца-Муди являются модулями старшего веса; при этом многие методы, разработанные для конечномерного случая, могут быть в той или иной мере перенесены на модули старшего веса над общими алгебрами Каца-Муди. Во-вторых, модули старшего веса над некоторыми бесконечномерными алгебрами

Каца-Муди (а именно, над так называемыми аффинными алгебрами), естественно возникают в теории струн, важном разделе математической физики.
Модули, рассматриваемые в настоящей диссертации, не являются модулями старшего веса. Упомянем некоторые работы, по священные близким классам модулей. Все модули, рассмотренные в этих работах, являются весовыми (т.е., разлагаются в прямую сумму подпространств, собственных относительно действия картановской подалгебры). В большинстве работ рассматриваются лишь конечнократные модули (т.е., предполагается, что все весовые подпространства конечномерны). Кроме того, в большинстве работ рассматриваются лишь конечномерные алгебры Каца-Муди (т.е., конечномерные полупростые алгебры Ли).
Прежде всего следует отметить работу С. Фернандо [4]. В этой работе введено понятие модуля без кручения над конечномерной полупро-стой алгеброй Ли. Показано, как задача о классификации всех конечнократных весовых модулей над конечномерными полупростыми алгебрами Ли может быть сведена к задаче о классификации одних лишь модулей без кручения. Там же показано, что нетривиальные конечнократные модули без кручения существуют лишь над алгебрами Ап, Сп и их прямыми суммами.
Опираясь на результаты Фернандо (полученные и описанные последним в своей диссертации еще в 1983 г.), Д. Бриттен и Ф. Лемайр в своей работе [5] расскласифицировали весовые модули над конечномерными полупростыми алгебрами Ли, имеющие одномерное весовое подпространство. Для этого они описали по семейству модулей без кручения над каждой алгеброй Ли типов Л и С, после чего доказали, что любой модуль без кручения с одномерными весовыми подпространствами над этими алгебрами изоморфен одному из модулей описанных семейств.
В работе [7] Бриттен, Лемайр и В. М. Футорный описали все неприводимые конечнократные модули без кручения над алгеброй Ач = $/(3, С) (см. утверждение 1.12 настоящей диссертации).
Б. Лидский в своей работе [9] описал семейство бесконечнократных весовых Лп-модулей (п > 2). В качестве частных случаев это семейство включает приводимые модули, обладающие конечнократными подмодулями. Для пары весовых модулей, имеющих общий вес, определено понятие “иооморфности в данном весе” (что означает иооморфность соответствующих весовых подпространств как модулей над подалгеброй универсальной обертывающей алгебры, сохраняющей весовые подпространства). Лидский доказал, что с точностью до изоморфности в каком-либо весе конечнократные подмодули модулей семейства исчерпывают все конечнократные скалярные неразложимые Ап-модули (модуль называется скалярным, если центр универсальной обертывающей алгебры действует на нем скалярными операторами).
Ю. А. Дрозд, С. А. Овсиенко и В. М. Футорный в работе [10] описали широкий класс (вообще говоря, бесконечнократных) Аг-модулей, включающий, в частности, все неприводимые конечнократные весовые модули.
Что касается бесконечномерных алгебр Каца-Муди, то примеры конечнократных весовых модулей, не являющихся модулями старшего веса и отличных от самой алгебры (присоединенного представления), исчерпываются так называемыми модулями петель над аффинными алгебрами. Модули петель определены и исследованы в работах [11], [12], [13].
В работе Бриттена, Лемайра и Зоритто [6] приведено определение модуля без кручения над произвольной алгеброй Каца-Муди. Там же доказано, что все модули без кручения с кратностью весов 1 над аффинными алгебрами являются модулями петель. Следует отметить также работу Бриттена и Лемайра [8], в которой доказан важный факт о конечнократных модулях над аффинными алгебрами. Именно, доказано, что если кратности весов модуля ограничены сверху, то центр алгебры действует на модуле тривиально.
Актуальность темы. Важной и трудной задачей теории представлений конечномерных полупростых алгебр Ли является классификация

Введем обозначения (согласующиеся с обозначениями главы 3): е0(т2) = Уг(то,тх,т2) - У2(т0 + 1,тх,т2) = -х2(ю) + т2
/о(тх,т2) = У0(то,т1,т2)-Уо(то,тх,т2+1) = -а5о(о1)-'т,ж0(1ц+т
Полная система соотношений такова:
Уо(т0, т[ — 1, т2)Ух(то,тх, т2) = У (то — 1, Ш], т2)1о(то, т1,т2) Уо(т0, т.] , т2 - 1)УЬ(то, т-1,т2) = У2(т0 - 1, т1,т2')Уо(тп0, тх, т2) Ух(то,тх, т2 — 1)У2(то, т1,т2) = Уг(то,т1 — 1, т2)Ух(то, тх, т2) Уо(т0 - 1,7X11,т2 + 1)Уо(то,т1,т2 + 1)
- 2УЬ(т0 — 1, тх, т2 + 1)Уо(т0, т1: т2) +
+ Уо(т0 — 1,т1,т2)Уо(то,тх,т2)
У] (то, т! — 1, т2 + 1)Ух(то, тх, т2 + 1)
- 2У] (то,тпх - 1,го2 + 1)Ух(т0, ти т2)+
+ Ух (то, тх - 1, т2)У] (то, тщ, т2)
Уз(т0 + 1, тх, т2 — 1)У2(тоо + 1, тх, т2)
- 2У2(т0 + 1, тх,т2 - 1)У2(т0, тх, т2)+
+ У2(т0, тх, т2 - 1)У2(то, тх, т2)
У2(т0, тх + 1, т2 - 1)У2(т0, тх + 1, т2|
- 2У2(т0, тх + 1, т2 - 1)У2(т0, тит2)+
+ 12(т0, тх, т2 — 1)12(то, тх, т2)
Уо(т0 - 2,гггх + 1,т2)У0(т0 - 1,тх + 1,т2)Уо(т0,тх + 1,т2)—
- ЗУ0(т0 — 2, тх + 1,т2)У0(т0 - 1,тх + 1, т2)У0(т0, ти т2)+
+ 31о(то — 2,тх + 1,т2)Уо(то — 1, тх, т2)Уо(т0, гщ, т2)
— Уо(т0 — 2, тх, т2)У,(то — 1, тх, т2)У0(т0, ти т2)
У (т0 + 1, тх — 2, т2)У] (т0 + 1, тх — 1, т2)Ух(т0 + 1, тх, т2)—
- ЗУх(т0 + 1, тх - 2, т2)Ух(то + 1, тх — 1, т2)Ух(?7г0, т1,т2)+
+ ЗУ] (то + 1, тх — 2,т2)Ух(то, тх — 1, т2)Ух(то, тх, т2)—
— Ух(то, тх — 2, т2)Ух(то, тх — 1,т2)Ух(то, т1;т2)