Аксиоматические ранги квазимногообразий групп без кручения

• Автор: Половникова, Елена Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Барнаул
• Количество страниц: 66 с.

Содержание
Введение
Глава 1. О (-теориях 2-порожденных групп без
кручения с данным аксиоматическим
рангом
§1. Предварительные сведения
§2. Мощность множества (-теорий 2-порожденных групп без кручения
Глава 2. Аксиоматические ранги квазимногообразий нильпотентных групп
§1. Квазимногообразия аксиоматического
ранга 2 и 3
§2. Квазимногообразие Аг(С,у)
Глава 3. Квазимногообразия аксиоматического
ранга 2, содержащие свободную неабелеву группу
§1. Базис квазимногообразия Т
§2. Объединение квазимногообразий
аксиоматического ранга
§3. Континуальность решетки ЬТъ)
Литература
Введение
Основателем теории квазимногообразий алгебраических систем является выдающийся математик академик А. И. Мальцев. Теоретический фундамент общей теории квазимногообразий был заложен им в работах [20, 21, 22], где, в частности, доказаны структурные теоремы о характеризации квазимногообразий на языке фильтрованных произведений, являющиеся аналогом теорем Г. Биргкофа [20] для многообразий; а также доказано, что среди аксиоматизируемых классов полной теорией определяющих соотношений обладают квазимногообразия и только они.
В настоящее время теория квазимногообразий получила бурное развитие. Выделим, во-первых, работы В. А. Горбунова [12, 13, 14], в которых дана характеризация квазимногообразий на языке обратных пределов, а также найден оригинальный метод исследования решеток квазимногообразий. В работах М. Е. Адамса и В. Дзебяка [29] и В. А. Горбунова [30] разработаны методы вложения свободной решетки в решетку квазимногообразий. Существенный вклад в теорию квазимногообразий групп внесен А. Ю. Ольшанским [25], которым исследовались локально конечные квазимногообразия и, в частности, установлена конечная аксиоматизируемость квазимногообразия, порожденного конечной группой с абелевыми силовскими подгруппами. Отметим работы А. И. Будкина [1, 2, 4, 5], посвященные исследованию вопросов аксиоматизируемости квазимногообразий, а также его работы [6, 8, 9], относящиеся к изучению решеток квазимногообразий, сыгравшие важную роль в развитии теории квазимногообразий групп. Список публикаций по теории квазимногообразий весьма значителен, в частности, эта область нашла свое отра-

жение в книгах А. И. Мальцева [20], В. М. Копытова и Н. Я. Медведева [16], В. А. Горбунова [31].
Напомним определения: С}-теория класса К — это множество ТС}(К) всех квазитождеств над счетным алфавитом, истинных во всех группах из класса К. Подмножество Е С Тд(К) называется базисом (-теории класса К, если всякое квазитождество а 6 Тд(К) является следствием множества Е квазитождеств. Говорят, что аксиоматический ранг (-теории равен п, если данная (-теория обладает базисом квазитождеств от п переменных и не обладает базисом квазитождеств от меньшего числа переменных. Если такого числа п не существует, то данная (-теория имеет бесконечный аксиоматический ранг. Понятие аксиоматического ранга оказалось весьма полезным и широко исследовалось для многообразий групп (см., например, [24]). Задача изучения аксиоматических рангов для квазимногообразий впервые была поставлена Д. М. Смирновым [17] (вопрос 3.52).
Аксиоматический ранг Сфтеории является одной из важных ее характеристик. В частности, бесконечность аксиоматического ранга (-теории влечет отсутствие у этой (фтеории конечных базисов. К настоящему времени вычислены аксиоматические ранги ряда естественных и важных объектов теории групп. Отметим некоторые результаты в этом направлении. Аксиоматический ранг квазимногообразия, порожденного конечной группой с неабелевой силовской подгруппой, найден А. Ю. Ольшанским в [25], квазимногообразия, порожденного всеми конечными группами А. К. Румянцевым в [26]. Аксиоматические ранги широкого класса неабелевых квазимногообразий (квазимногообразий, порожденных свободной группой, группой с одним определяющим соотношением, свободной разрешимой группой, конечно-порожденной нильпотент-

Если Р — О, I = О, ТО Фх ИСТИННО В любой Группе ИЗ Л/2,00, что не так. Если р = О, I ф 0, то ЕДЛ'г) ф Фх- Поэтому считаем, что р ф 0. Несложно заметить, что квазитождество Ф1 эквивалентно квазитождеству
Ф] = (г(г§ = 1 & ?’3 = 1 -> Гх = 1).
Докажем, что Р2(Л/)) ф Фх- Пусть, например, гх = [х2,х\, г2 = [жз,жх], гз = [3,2:2]. Рассмотрим следующую подстановку:
ж3 —> а?, ж2 -» а~р, хх -> Ь.
Легко проверяется, что левая часть квазитождества Ф': истинна при данной подстановке, а правая — ложь. Значит, Р2(ЛГ2) ф Ф'. Остальные варианты для г* рассматриваются аналогично. Итак, случай I не имеет места.
Случай II. шз — 0.
1. Пусть т.2 ф 0. Тогда матрицу А можно привести к следу-
ющему виду:
з £ 0
0 к т2 ООО
, я ф 0. Если к = 0, то полученная
(зі 0
матрица приведется к виду

и соответствующее ква-

0 0 1 ООО
зитождество — это квазитождество вида (11), а этот случай уже рассмотрен.
Пусть к Ф 0- Тогда Ф эквивалентно квазитождеству
ф2 = (гф1 = 1 & г(?г3т2 = 1 -> гг3т = 1).
Заметим, что если I — 0, то это квазитождество вида (11). Пусть 1 ф 0. Аналогично, /2 ф 0. Тогда квазитождество Ф2 эквивалентно в Л/г оо квазитождеству
Ф2 = (Г1Г2 = 1 & г2 '
1 -д. Г2 = 1).