Действия подторов и инвариантные схемы Гильберта

• Автор: Чувашова, Ольга Валерьевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 89 с.

Условные обозначения

Глава 1. Свойства отделимости для замыканий торических орбит

1.1. Определения и простейшие примеры

1.2. Гиперповерхности

1.3. Характеристические многообразия

1.4. Случай Т-инвариантного подмногообразия

1.5. Приложение к бинарным формам

1.6. Замыкание орбиты тора в векторном пространстве

1.7. Замыкание орбиты тора в проективном пространстве

Глава 2. Торические схемы Гильберта

2.1. Терминология и предварительные сведения

2.1.1. Выпуклая геометрия
2.1.2. Торические многообразия
2.1.2. Мультиградуированные схемы Гильберта
2.2. Главная компонента торической схемы Гильберта
2.3. Веер главной компоненты
2.4. Морфизм в обратный предел С1Т-факторов
2.5. Связь с семейством Альтмана-Хаусепа
Глава 3. Инвариантная схема Гильберта систем векторов
3.1. Определения и основные сведения об инвариантных схемах
Г ильберта
3.2. Инвариантная схема Гильберта диагонального представления79 Список литературы

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
к — основное поле, в первых двух главах предполагается алгебраически замкнутым, в третьей главе предполагается алгебраически замкнутым нулевой характеристики;
Ап — аффинное п-мерное пространство;
Ст — одномерный алгебраический тор;
Х{Т) — решетка характеров тора Г;
Л(Г) — решетка однопараметрических подгруппа тора Т;
{-, ■) — естественное спаривание между Х(Т) и Л(Т);
— векторное пространство X О, порожденное решеткой Х сопе(Е) — конус в Ад), порожденный подмножеством Е С Х
£>1+1)2 — сумма Минковского подмножеств £>1, £>2 векторного пространства;
Сх — веер дорического многообразия Х
+ — функтор точек схемы Z
к[/у] — алгебра регулярных функций аффинной схемы Z
Ог — структурный пучок схемы Z.

Диссертация посвящена исследованию действий редуктивных алгебраических групп (в частности, алгебраических торов) на аффинных многообразиях.
Пусть V — конечномерное векторное пространство над нолем к, С — связная редуктивная алгебраическая группа. Рассмотрим линейное действие б? : V. Изучаемые в современной теории инвариантов свойства замыканий орбит X = Су С V можно условно разделить на четыре группы:
(1) "комбинаторные" (число орбит в б?щ граф примыканий орбит, ...);
(2) алгебро-геометрические (гладкость, нормальность, коэн - маколеевость, типы особенностей, ...);
(3) топологические (стягиваемость, односвязность, вычисление гомологий и когомологий, высших гомотопических групп, ...);
(4) свойства вложения Су С V (размерность линейной оболочки, гиперплос-кие сечения, описание идеала, задающего многообразие, ...).
Первая глава диссертации посвящена изучению свойства отделимости, которое, на наш взгляд, относится к наиболее естественным свойствам четвертого тина.
Определение. Подмножество X векторного пространства V обладает свойством отделимости, если для любой нары линейно независимых линейных функций а, (3 6 V* найдется точка х 6 X такая, что а(х) = 0 и /3(х) ф 0.
Другими словами, выполнение свойства отделимости означает, что для любой однородной гиперплоскости Я пересечение Н ГХ линейно порождает Я. Свойство отделимости для подмножества в проективном пространстве определяется аналогично. Впервые вопрос о выполнении свойства отделимости появился у Й.-К. Янтцена в связи с работой А. Премета [24]:
Вопрос. Пусть к — алгебраически замкнутое поле, б? — простая алгебраТак как У,У £ Яр(Д), то, повторяя предыдущие аргументы, мы видим, что г/ является изоморфизмом.
(с) Следовательно, имеют место равенства
У = Уо Хст А1 = ((ЭресР)о ХрГ0]р У) хСт А1 = Е хрТ0}р У.

2.2. Главная компонента торической схемы Гильберта
Пусть X — аффинное Т-многообразие, причем Т действует на X эффективно. Положим X := Рассмотрим
Г:=П и Х
/ек[х]х
= {х £ X : для любого у € X существует / £ к[Х]х такая, что /(х) ф 0}.
Так как X5 совпадает с пересечением множеств ЦгеВД*^/ 110 конечному множеству образующих у полугруппы X, подсхема X5 является открытым подмногообразием в X. Заметим, что для любой точки гбХ5 замыкание ее орбиты Тх имеет следующую функцию Гильберта:
Му) := <
1 если у Є X, 0 иначе,
то есть Тх ~ Х% для любой точки х Є X5. Мы будем обозначать Ях,т мультиградуированную схему Гильберта Я(ТГ; она называется торической схемой Гильберта [23]. Таким образом, каждая точка х Є Xя задает Нерациональную точку Тх € Нх,т■ Следующая лемма утверждает, что это соответствие продолжается до открытого вложения геометрического фак-