Специальные алгебры Ли, обобщенные тождества и радикальные свойства

• Автор: Терехова, Юлия Алексеевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 50 с.

Содержание
Введение
I. О теореме Леви для обобщенно специальных
алгебр Ли
II. Слабо разрешимый радикал в ассоциативных
кольцах
1. Существование слабо разрешимого радикала в ассоциативных кольцах
2. Слабо разрешимый радикал в кольце многочленов
и в кольце матриц над телом
III. Кольцевые свойства и обобщённые тождества
в полупервичных кольцах
1. Радикал Парфенова в полупервичной алгебре со
строгим обобщённым тождеством
2. Ниль-идеалы в полупервичных кольцах со строгими обобщёнными тождествами
3. Связь между радикальностью в смысле Бэра
и г-свойством
IV. Свойство поли-М-нильпотентности в кольцах
и полугруппах с нулем
1. Определение и простейшие свойства
поли-М-нильпотентности
2. Односторонние поли-М-нильпотентные идеалы
3. Поли-М-нильпотентность и г-свойство
V. Идемпотентность и г-свойство в кольцах
Литература
Публикации

Введение
При построении структурной теории алгебраических систем, как правило, необходимо сведение их к более простым объектам. Распространенной конструкцией, позволяющей осуществить такое сведение, является радикал. Наиболее известны следующие четыре радикала: нижний нильрадикал Бэра, локально нильпотентный радикал Левицкого, верхний нильрадикал Кёте и квазирегулярный радикал Перлиса-Джекобсона.
Основы построения общей теории радикалов колец и алгебр были заложены в пятидесятые годы С.А. Амицуром в работах [1], [2], [3] и А.Г. Ку-рошем в работе [4].
Рассмотрение различных свойств колец и алгебр привело к построению новых, ранее неизвестных радикалов. С другой стороны, некоторые из нововведённых свойств, хотя и не оказались радикальными, но позволили более точно описать уже известные радикалы в кольцах и алгебрах, обладающих этими свойствами.
В 1971 г. в работе [5] В.А. Парфёнов ввёл понятие слабой разрешимости для алгебр Ли: алгебру Ли Ь над полем А назовём слабо разрешимой, если для любого конечного множества элементов Я данной алгебры существует номер п = N (Я) такой, что все значения многочлена /п(х 1,2
/0О1) =Х1 И/Дж1
В этой же статье В.А. Парфёнов показал, что это свойство является радикальным в классе алгебр Ли. Поскольку ассоциативные кольца в некотором смысле близки к алгебрам Ли, то идея перенесения свойства слабой разрешимости в класс ассоциативных колец кажется естесственной.
В 1982 г. А.Д. Сандс в статье [6] ввёл и исследовал свойство М-нильпотентности: кольцо Я называется М-нильпотентным, если для любой двойной последовательности
В 1992 г. Б.Дж. Гарднер рассмотрел свойство (г) в кольцах [7]: кольцо Я обладает свойством (г), если для любой последовательности («1, а2...) элементов кольца существуют индекс п и перестановка а £ ,5П такие, что а<гп)а<т(2)... а,т(п) = 0. В работе [7] было также доказано, что каждое М-нильпотентное кольцо есть кольцо со свойством (г) и что обратное неверно.

Кажется небесполезным глубже исследовать сходство и различие между этими двумя классами колец. С этой целью в главе IV вводится и исследуется свойство поли-М-нильпотентности: кольцо R назовём поли-М-нильпотентным, если существует цепь подколец кольца R
О = А0 С Ai С А2 С ... С Ап
такая, что А; есть идеал в А*+1 и Ai+i/Aj — М-нильпотентное кольцо (i = 0
В статье [7] Б.Дж. Гарднер поставил вопрос: должны ли кольца, обладающие свойством (г), совпадать со своим первичным радикалом? В главе III диссертации доказано, что поставленный Гарднером вопрос решается положительно.
Доказательство этого факта во многом опирается на теорию обобщённых полиномиальных тождеств, которая была разработана
B.C. Мартиндейлом для случая первичных колец [8] и К.И. Бейдаром в случае полупервичных колец [9-12]. Поскольку обобщённые тождества представляют интерес сами по себе, то часть диссертации посвящена изучению радикалов в кольцах с обобщёнными тождествами.
Основные результаты диссертации:
1. Получен аналог теоремы Леви для обобщённо специальных алгебр Ли над полем характеристики нуль в случае, если фактор-алгебра Ли по локально разрешимому идеалу есть конечномерная полупростая алгебра Ли.
2. Осуществлён перенос свойства слабой разрешимости из класса алгебр Ли в класс ассоциативных колец. Доказано существование слабо разрешимого радикала в ассоциативных кольцах. Вычислен слабо разрешимый радикал для матричных колец над телом (n > 1) и для колец многочленов.
3. Получен положительный ответ на вопрос Гарднера, то есть доказано, что кольца, обладающие свойством (г), совпадают со своим первичным радикалом. Показано, что полупервичное кольцо со строгим обобщённым тождеством не содержит ненулевых односторонних ниль-идеалов.
4. Введено свойство поли-М-нильпотентности и получен ряд его свойств. Построен пример кольца, обладающего свойством (г), но не являющегося поли-М-нильпотентным.
5. Получен пример идемпотентного градуированного однородно г-нильпотентного кольца, не обладающего свойством (г). Доказано, что кольцо многочленов над идемпотентным кольцом не обладает свойством

Отсюда следует, что кольцо Аг-+1Д/Аг-Д псевдоградуированное. Более того, АД/АД — однородно-М-нильпотентное кольцо. Действительно, пусть мы имеем двустороннюю последовательность однородных элементов {а+1к е Д:+1Д|4г+1) е А,ц,г* £ Л, к £ Ъ}. Тогда
(О’-'к + А,'й)(аЩг4+1 + А;Д) ... (а{+ + А;Д)
= (а*ЛМ(г-*°-й)(г-*+1а-*+2) (гк-А+1))]гк + А.-Д,
и при подходящем выборе к выражение, стоящее в квадратных скобках лежит в Д, так как кольцо Д+ДА; является М-нильпотентным, а следовательно, произведение будет равно нулю.
Таким образом, на основаниии предложения 4 мы получаем, что кольцо Аг;+1Д/АгД является М-нильпотентным (г = 0
Теперь рассмотрим идеал А + АД в кольце Д. Очевидно, что кольцо (А +АД)/(А +АД)2 нильпотентно. Тогда в силу предложения 2, поскольку (А +АД)2 С АД, мы получаем, что кольцо (А + АД)2 поли-М-нильпотент-но. Тогда согласно предложению 5, идеал А + АД поли-М-нильпотентен, что и требовалось доказать.
Замечание. Аналогичное предложение 6 для полугрупп с нулём — очевидное утверждение.
Предложение 7. Сумма двух левых (правых) поли-М-нилъпотент-ных идеалов есть левый (правый) поли-М-нилъпотентный идеал.
Доказательство. Согласно предложениям 6 и 2, достаточно рассмотреть случай двусторонних идеалов. Пусть идеалы А и В поли-М-нильпо-тентны. Тогда (А + В)/В = А/(А П В).
Поскольку кольца В и А/(АПБ) поли-М-нильпотентны, то согласно предложению 3, идеал А + В поли-М-нильпотентен.
Предложение 7 доказано.
§3. Поли-М-нильпотентентность и г-свойство
Пусть А — линейно упорядоченное множество. Рассмотрим полугруппу Д(А)-А нулём, образующими которой являются элементы А, а множество соотношений имеет вид {аЪ = 0|6 < а].
Пусть А х В означает лексикографическое прямое произведение линейно упорядоченных множеств А и Д, т.е.
Ах В - {(а, Ь) | («1, Ъ) < (а2,Ь 2),если
а < а2 или (ах — а2 и Ь < Ь2)}.