Структура идеалов как модулей Галуа

• Автор: Бондарко, Михаил Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 84 с.

Оглавление
Основные обозначения
Введение
Глава 1. Теорема Крулля-Шмидта и прочие вспомогательные результаты
§1. Теорема Крулля-Шмидта для конечномерных модулей
§2. Теорема Крулля-Шмидта для модулей конечного ранга
§3. Переход к пределу в теореме Крулля-Шмидта
§4. Тензорное произведение как алгебра Галуа
§5. Композит-модули
§6. Некоторые результаты о ветвлении в абелевых расширениях

: VV’*' ’4
Глава 2. Разложимость идеалов как модулей Галуа в строго сепарабельных
абелевых расширениях локальных полей
§7. Разложение идеалов в циклических расширениях степени р
§8. Случай расширения с группой Галуа (Ъ/{р))2
§9. Доказательство теоремы А
§10. Свойства циклических расширений
§11. Доказательство теоремы Б
Глава 3. Изоморфность идеалов как модулей Галуа
§12. Случай неразложимых идеалов
§13. Факторная эквивалентность
§14. Доказательство теорем Г и Д
Глава 4. Разложимость идеалов в дедекиндовых кольцах
§15. Поле разложения
§16. Доказательство теоремы Е
Глава 5. Разложимость идеалов в неабелевом случае
§17. Центральные идемпотенты
§18. Разложимость идеалов
Литература

Основные обозначения
Во всей работе, кроме тех параграфов, где оговорено обратное, будут использоваться следующие обозначения.
• к — поле;
• К/к — расширение Галуа с группой Галуа G, [К :к
• tr = tr к і к',
и fcals — алгебраическое замыкание поля к;
• р — фиксированное простое число;
• а — остаток целого числа а при делении на р;
• („ — первообразный корень из 1 степени п;
Для поля F, являющегося алгебраическим расширением поля целых к дедекин-дова кольца о характеристики 0, мы обозначаем
• Ор — целое замыкание кольца о в поле F;
В частности,
• О к — кольцо целых поля К;
Если при этом F — полное дискретно нормированное поле характеристики 0 с произвольным полем вычетов характеристики р> 2, то мы обозначаем
• of — нормирование на данном дискретно нормированном поле F;
• Шр — максимальный идеал кольца он;
• ер — vp(p), предполагая char Г1 = 0 и char і7 = р;
Если к — такое поле, то мы обозначаем
• е — абсолютный индекс ветвления поля к;
• v0 — нормирование на к;
• v — нормирование на К;
• рт — индекс ветвления расширения К/к;
• к' = к(сР), К' = К(СР).
Введение
Стало общим местом в работах по аддитивным модулям Галуа числовых полей в первую очередь ссылаться на Гильберта, который в 1897 году доказал следующий результат. Кольцо целых абелева расширения поля Q, степень которого взаимно проста с дискриминантом, имеет целый нормальный базис (см. [Н], Satz 132). С этого момента начало развиваться исследование аддитивных модулей Галуа глобальных и локальных полей. Чуть позже Шпайзер ослабил условие Гильберта и доказал тот же результат для абелевых всюду ручных расширений поля Q. Если обратиться к произвольному абелевому расширению числовых полей, то требование, чтобы это расширение было всюду ручным, для существования нормального базиса в кольце целых, как оказалось, является необходимым, но не достаточным, и поэтому появилось много работ, где изучаются препятствия к существованию нормального базиса у кольца целых. Подробности можно найти в монографии Фрёлиха (см. [Fr]). В случае наличия дикого ветвления у расширения структура кольца целых как модуля Галуа остается практически неисследованной до сих пор. Имеются лишь разрозненные результаты.
В локальной ситуации дело обстоит много лучше, хотя и здесь в случае дикого ветвления сделаны лишь первые шаги. Возникают следующие естественные вопросы:
A) Когда два идеала изоморфны как модули Галуа?
Б) Когда кольцо целых (его идеалы) разложимо в нормальном расширении локального поля (в общем случае - полного дискретно нормированного поля с полем вычетов конечной характеристики) как модуль Галуа?
B) Какова структура кольца целых (его идеалов) как модуля Галуа?
Ответ на первый вопрос получен практически полностью (см. [Ву1] для абелева случая и [BV4] в произвольном случае).
Условия разложимости идеалов в абелевых расширениях получены также почти во всех случаях. Для обычных локальных полей см. [BoV, VI, V2, Ml, М2, М3], для полных дискретно нормированных полей с произвольным полем вычетов конечной характеристики и абелевых р-расширений с сепарабельным расширением полей вычетов см. [BVZ, BV1]. Отметим, что разложимость идеалов существенно используется как при исследовании изоморфности идеалов, так и при изучении структуры кольца целых как модуля Галуа (см., например, [Ву2]). Суть дела в том, что часто приходится применять теорему Крулля-Шмидга, в которой неразложимость исследуемых модулей является одним из условий.
Остановимся теперь на последнем вопросе. Здесь первый общий результат был получен Э. Нётер, которая в 1932 году (см. [N]) доказала, что в нормальном расширении локального поля (т.е. конечного расширения поля Q,,) кольцо целых имеет нормальный базис тогда и только тогда, когда расширение является ручным (т.е. слабо разветвлено). Для идеалов кольца целых в расширениях с высшим (диким) ветвлением аналогичный результат был доказан С. Улломом и в явном виде С. Востоковым (см. [U, V3]). А именно, пусть К/к — вполне разветвленное р-расширение локального поля к. Тогда идеал I кольца целых £> поля К имеет

Поэтому
7 + Еа=1 Ьа(<Т - 1)“ + (<7 - І)'"1,
где Ьа Є ((Ср - 1)"“), 1 < О < р - 2 и бу-! Є Р[СР]*.
Если выполнено условие с, то, согласно (8), оператор к- /р является идемпотен-том на модуле , и, значит, получаем о [С] -разложение
= ~('Л) 0 Кег1г(71). (11)
Пусть теперь о [С?]-модуль 71 разложим, и, для определенности, 1г 21 = 0. Пусть 21' = /г21 = 0',_, кв г". Тогда 0 I — 0
ег(0 Є 71.
Из (10) получаем разложение е/(£) по о-базису модуля 'Л:
еД£) = £ Аа(п - 1)“С + -Аг1(а - 1ГЧ Є 71.

Все коэффициенты этого разложения должны быть целыми, в частности,
ЬР-і/р- Є о.
Но Ьр-1 Є а*, а значит, 1/ру- є о, т.е., получаем условие с.
Если в поле к нет нетривиальных р-ых корней из 1, то все приведенные выше рассуждения также можно провести. Действительно, пространство К' = У21 ф к"й5 можно, так же, как в (9), разложить в сумму одномерных, а значит, можно рассмотреть проектор на одну из компонент разложения, равный в кольце У[С сумме ортогональных идемпотентов, получаем разложение вида (10), причем, так как 21,® определены над к, то е/ є &[ 0, 1 а < р — 2 (и из предшествующей формулы) имеют в к нормирование, не меньшее — еа/{р— 1), где е — индекс ветвления поля к. Далее, так же получаем
Ьр—і/рХр—і є о,
что снова влечет 1 /рр~і Є о
Следствие 7.2.2.
Некоторые идеалы К разложимы тогда и только тогда, когда дифферента кратна р.
если г’і ф
(10)
если і