Аппроксимационные свойства HNN-расширений групп и групп с одним определяющим соотношением

• Автор: Молдаванский, Давид Ионович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Иваново
• Количество страниц: 204 с.

ГЛАВА I. Аппроксимируемость ИМА-расширений групп

§ 1. Предварительные замечания и результаты

§2. Финитная аппроксимируемость НМЛГ-расширений

с центральными связанными подгруппами

§3. Аппроксимируемость НИИ-расширений в классе

конечных р- групп

ГЛАВА II. Группы с одним определяющим соотношением § 4. Предварительные замечания о строении групп

Баумслага - Солитэра и групп Бруннера

§5. Финитная аппроксимируемость и аппроксимируемость конечными р-группами групп Баумслага - Солитэра

и групп Бруннера

§ 6. Классификация и хопфовость групп Баумслага - Солитэра

и групп Бруннера
§ Т. О пересечении подгрупп конечного индекса в группах Баумслага - Солитэра
ГЛАВА III. Отделимость подгрупп и некоторые другие аппроксимационные свойства групп
§8. О финитной отделимости подгрупп
§9. О финитной аппроксимируемости групп относительно
сопряженности подгрупп
10. О группах с одинаковыми конечными гомоморфными образами
Литература

Понятие финитно аппроксимируемой группы, как свидетельствуют В. Чандлер и В. Магнус в историческом обзоре [25], впервые в явном виде появилось в работе А. И. Мальцева [13], где была установлена финитная аппроксимируемость конечно порожденных матричных групп и доказана хопфовость конечно порожденных финитно аппроксимируемых групп. Это понятие обобщалось затем в различных направлениях; в частности, в статьях А. И. Мальцева [14] и [15] рассматривались свойства апроксимируемости группы и отделимости подгруппы в произвольном классе групп. В настоящее время в наиболее общей форме аппроксимируемость групп определяется следующим образом (см. [7]):
Пусть (7 — некоторая группа и р — отношение между элементами и (или) множествами элементов, определенное на группе (7 и всех ее гомоморфных образах. Пусть также /С — некоторый класс ^ групп. Будем говорить, что группа С аппроксимируема группами из
класса К (или, короче, К-аппроксимируема) относительно отношения р, если для любых элементов и множеств элементов из (7, не находящихся в отношении р, существует гомоморфизм группы (7 на группу из класса /С, при котором образы этих элементов и множеств также не находятся в отношении р.
В работах по данному направлению чаще всего рассматривается аппроксимируемость относительно отношения равенства (и в этом случае мы будем говорить просто о ^-аппроксимируемости), отношения сопряженности элементов и отношения вхождения в подмножество (если группа (7 /С-аппроксимируема относительно вхождения в подмножество М, говорят, что подмножество М является К-отделимым в (7). При этом, как правило, в качестве К выступает или класс Т всех конечных групп, или класс Тр всех конечных р-групп, А или класс М всех нильпотентных групп.
Одним из заметных направлений в исследованиях по аппроксимируемости групп является изучение поведения того или иного ап-

проксимационного свойства относительно той или иной теоретикогрупповой конструкции. Так, прямое или декартово произведение произвольного семейства /С-аппроксимируемых или /С-аппроксимируемых относительно сопряженности групп является, очевидно, группой, /С-аппроксимируемой или /С-аппроксимируемой относительно сопряженности соответственно. Вместе с тем, прямое произведение двух свободных групп ранга 2 содержит конечно порожденную подгруппу, не являющуюся Т’-отделимой (см., напр., [26]), тогда как в силу теоремы Холла - Бернса (см. [10, с. 34]) в любой свободной группе все все конечно порожденные подгруппы Т-отделимы.
Аппроксимируемость свободного произведения групп рассматривалась К. Грюнбергом в работе [42]. В этой работе вводится понятие корневого класса групп и доказывается, что если класс групп /С является корневым, то свободное произведение произвольного семейства /С-аппроксимируемых групп будет снова /С-аппроксимируемой группой тогда и только тогда, когда произвольная свободная группа, /С-аппроксимируема. (Напомним, что класс групп /С, содержащий хотя бы одну неединичную группу, называется корневым, если он замкнут относительно взятия подгрупп и конечных прямых произведений и для любой последовательности С ^ В ^ А подгрупп группы А такой, что С нормальна в В, В нормальна в А и фактор-группы В/С и А/В принадлежат классу /С, в подгруппе С содержится некоторая нормальная подгруппа D группы А, такая, что A/D G /С.) Недавно Д. Н. Азаров [2] заметил, что произвольный корневой класс содержит или все конечно порожденные нильпотентные группы, или все конечные р-группы, и потому каждая свободная группа является /С-аппроксимируемой для любого корневого класса /С. С учетом этого замечания теорема Грюнберга утверждает, таким образом, что для любого корневого класса /С класс /С-аппроксимируемых групп замкнут относительно свободных произведений. В частности, свободное произведение .^-аппроксимируемых групп или Тр-аппроксимируемых групп является ^-аппроксимируемой или Ар-аппроксимируе-

Отметим два следствия сформулированных утверждений. В первом из них речь идет о /-отделимости циклических подгрупп.
Напомним, что группа С называется 7гс-группой, если все ее циклические подгруппы /-отделимы. Очевидно, что произвольная 7гс-группа является /"-аппроксимируемой. Обратное, вообще говоря, не имеет места; простейшим контрпримером, как известно, является группа Баумслага - Солитэра вида (а, 6; Ъ~1а1Ъ = а), где |2| > 1. Эта группа является Н NN-расширением бесконечной циклической группы, и единственное условие из формулировки теоремы 2.1, которому она не удовлетворяет, состоит в совпадении с базовой группой одной из связанных подгрупп. С другой стороны, легко показать (см., напр., [51]), что если группа б? является 7Тс-группой, подгруппы А и В /"-отделимы и каждая нормальная подгруппа конечного индекса группы (7 содержит некоторую (А, В, Следствие 1. Пусть группа С и ее подгруппы А и В удовлетворяют условиям теоремы 2.1, и пусть, кроме того, (7 является тгс-группой. Группа (7* является пс-группой тогда и только тогда, когда она /-аппроксимируема.
В самом деле, если группа (7* /"-аппроксимируема, то поскольку А ф (7 и В ф (7, легко видеть (см., впрочем, ниже предложение 2.1), что подгруппы А и В /"-отделимы.
Второе следствие указывает на более конкретное применение этих результатов. Из теоремы 6 работы [15] следует, что в произвольной полициклической группе все подгруппы являются финитно отделимыми. Так как свойство финитной отделимости всех подгрупп сохраняется при конечных расширениях, имеем
Следствие 2. Пусть группа С является конечным расширением полициклической группы и А и В — собственные центральные подгруппы группы (7. Пусть последовательности ик и 14 подгрупп