Геометрия одномерных семейств алгебраических кривых

• Автор: Нгуен Кхак Вьет
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 287 с.

Московский Государственный Университет имени М. В. Ломоносова
Механико-математический факультет
ГЕОМЕТРИЯ ОДНОМЕРНЫХ СЕМЕЙСТВ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ
01.01.06 - Математическая логика, алгебра и теория чисел
Диссертация на соискание ученой степени доктора физико - математических наук
На правах рукописи

КХАК ВЬЕТ НГУЕН
Москва 1998
Содержание
Содержание
Введение
Глава I. О семействах кривых над Р1 с малым числом
особых слоев
§1. Формула Огга-Шафаревича-Гротендика и ее следствия
§2. Общая оценка Аракелова
§3. О семействах кривых над Р1 с з <
§4. Нижняя оценка числа в (доказательство гипотезы Шпиро)
§5. Усиленный вариант неравенства канонического класса
Глава II. Классификация эллиптических расслоений с малым
числом особых слоев над базой рода 0 и
§1. Предварительные сведения из теории решеток Морделла-Вейля
§2. Экстремальные эллиптические расслоения и сингулярные
поверхности типа КЗ
§3. Полустабильный случай
§4. Общий случай
§5. О конфигурациях особых слоев на рациональных
эллиптических поверхностях
Глава III. Равномерное ограничение кручения Морделла-Вейля
для эллиптических расслоений
§1. Некоторые предварительные результаты
§2. Теорема о башне морфизмов
§3. О с£-гональности модулярных кривых Х0(IV)
§4. Равномерная оценка для подгрупп кручения Морделла-Вейля

- виртуальный ранг Морделла-Вейля, т.е. ранг существенной (по Вейлю) части группы Нерона-Севери N 3(Х); д0 - размерность неподвижной части В якобиана общего слоя, как абелева многообразия, определенного над К = к(С), 5 С С - множество точек вырождения. Напомним определение неподвижной части (или К/к-слел) абелева многообразия А над К. Это пара (В,т), состоы-ащая из абелева многообразия В над к и гомоморфизма г: В —> А абелевых многообразий над К, обладающего свойством универсальности: для любой другой пары (В',т') как выше существует единственный гомоморфизм <р: В' —> В над к такой, что г' = т о р. Известно, что К/к-слел существует (Чао) и г есть радикальное отображение (оно инъективно на точках, но может иметь инфинитезимальное ядро в случае характеристики р > 0).
Лемма 1.1.1 (Огг-Шафаревич-Гротендик). Имеет место следующая формула
где Єі(Х) соответствует так называемому кондуктору ручного ветвления и аг(Х) обозначает кондуктор дикого ветвления (или кондуктор Суона).
На практике эта формула используется, когда можно вычислить члены Єі(Х) + аг(Х). В частности, если р = 0 или р > 2д + 1, или слой Хг над і полустабилен, то аХ) — 0. Более того, для “ручного” терма еХ) имеет место следующее простое выражение
где е((Х) := х(Хг) + 2д — 2 есть локальная эйлерова характеристика (ручной кондуктор) и п( - число неприводимых компонент в слое Х%.
Доказательство Леммы 1.1.1. На самом деле, что формула (1.1.2) эквивалентна известной формуле Огга-Шафаревича-Гротендика для ас-содированного семейства якобианов (ср. Замечание 1.1.8 ниже). Здесь мы приведем доказательство, проходящее целиком в рамках теории поверхностей. С одной стороны, по определению виртуального ранга Морделла-Вейля
г + Р2 — 2д(2д(С) — 2) + 4 д0 + є4(Х) + оч(Х) (1.1.2)
£і(Х) = Єі(Х) - Пі +
(1.1.3)
(1.1.4)