Проблемы степени и степенной сопряженности в группах с условиями С(4) & Т(4)

• Автор: Паршикова, Елена Владиславовна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Тула
• Количество страниц: 96 с. : ил

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ ЛИПШУЦА ДЛЯ ГРУПП С УСЛОВИЕМ

С(4)&Т(4)

§ 1. Предварительные сведения

§2. Элементы конечного порядка в группах с условием С(4)&Т(4).

§3. Элементы бесконечного порядка в группах с условием С(4)&Т(4). 31 Глава 2. РАЗРЕШИМОСТЬ ПРОБЛЕМ СТЕПЕНИ И КОРНЯ В ГРУППАХ

С УСЛОВИЕМ С(4)&Т(4)

Глава 3. ТРАНСЛЯЦИОННЫЕ ЧИСЛА В ГРУППАХ С УСЛОВИЕМ

С(4)&Т(4)

§1. Предварительные сведения

§2. Доказательство основного результата
Глава 4. ПРОБЛЕМА СТЕПЕННОЙ СОПРЯЖЕННОСТИ В ГРУППАХ С
УСЛОВИЕМ С(4)&Т(4)&Ра- и С(5)&Т(4)
§1. Проблема слабой степенной сопряженности в группах с условием
С(4)&Т(4)
§2. Проблема степенной сопряженности в группах с условием
С(4)&Т(4)&Ра
§3. Проблема степенной сопряженности в группах с условием
С(5)&Т(4)
ЛИТЕРАТУРА
ПРИЛОЖЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ
В данной работе решаются некоторые алгоритмические проблемы для групп с малым сокращением. В 1911 году в одной из своих работ М. Дэном были поставлены основные алгоритмические проблемы в теории групп - проблемы равенства и сопряженности слов в конечно определенных группах и проблема изоморфизма конечно определенных групп.
Проблема равенства состоит в следующем; существует ли алгоритм, выясняющий по двум произвольным групповым словам от порождающих элементов группы, определяют ли они один и тот же элемент в группе.
П.С. Новиковым в работах, связанных с исследованием проблемы равенства была доказана неразрешимость проблемы равенства слов в конечно определенных группах [10], им же доказана неразрешимость проблемы изоморфизма групп. Примеры конечно определенных групп с неразрешимой проблемой равенства были также даны Буном в работе [19].
Сформулированная М. Дэном проблема сопряженности звучит так: существует ли алгоритм, выясняющий по двум произвольным групповым словам от порождающих элементов группы, определяют ли они сопряженные элементы группы. Очевидно, что в группе с неразрешимой проблемой равенства проблема сопряженности также не разрешима.
С.И. Адяном определено понятие наследственного нетривиального свойства группы и доказано, что не существует алгоритма, позволяющего для произвольной конечно определенной группы распознать выполнимость некоторого свойства, представляющего собой объединение нетривиального наследственного и инвариантного свойства, если только существуют группы, обладающие этим свойством [1]. Из этого результата следует, что практически все проблемы, относящиеся к конечно определенным группам, в общем случае неразрешимы.
Отрицательное решение проблемы равенства слов явилось причиной изучения проблем М. Дэна в определенных классах групп.
Долгое время практически единственным классом конечно определенных

групп (кроме матричных групп) с разрешимой проблемой равенства был класс групп с одним определяющим соотношением. Для этого класса проблема равенства была полностью решена Магнусом в 1932 году [33].
Другим классом конечно определенных групп с разрешимой проблемой равенства является класс групп с малыми сокращениями определяющих слов. Пусть группа С задана своим представлением С = (Х'.Я). Пусть X - конечный
алфавит, содержащий символы ху'1, / е 1,,п. Конечное множество Я циклически несократимых слов в алфавите X назовем симметризованным, если вместе с каждым словом г е Я слово г"1 е Я и все циклически перестановки слов
г±1 также содержатся в Я. Общее начало двух различных слов из Я назовем
куском.
Рассматриваются следующие условия малого сокращения:
1) Условие СТА,), 0 < А, < 1 - длина любого куска меньше А. от длины соответствующего определяющего соотношения;
2) Условие С(р), ре!Д. Никакой элемент из Я не является произведением менее чем р кусков.
3)Условие Т(д), с/еХ. Пусть 3 < И < д. Для любого набора слов Г,. . . ,г/, из Я, таких, что последовательные элементы ги Гц | не являются взаимно обратными, по крайней мере, одно из произведений Г1Г2,. . ., г/г.]Г/„ г/,Г] приведено.
Заметим, что из условия С'(—) следует условие С(/Л1).

Изучение групп с малым сокращением, появившихся в работах М. Дэна, началось в конце сороковых годов. Идеи М. Дэна о малых сокращениях были применены В.А.Тартаковским к решению проблемы равенства слов для конечно определенных факторгрупп свободных произведений циклических групп по множеству определяющих соотношений Я, удовлетворяющему условию С(7) [14], [15], [16]. Используя идеи В.А. Тартаковского, М.Д.Гриндлингером были определены классы групп с условием малого сокращения и решены проблемы

ция также сводится к переходу от квадрата слова гу0 к сопряженному с ним слову, любая степень которого Я, К -несократима. Действительно, рассмотрим диаграмму М с граничной меткой Д5Л4) = До)"2” для некоторого п.
1. Пусть полоса П, соответствующая этому сокращению, состоит из двух областей: И =Д иД. Пусть аа2 и 1ДЦ =||с72|| =1 и а = а[!а[; а2 = а2а2 ■ Из условия Т(4) следует, что возможна только следующая ситуация: (/ЖдГ) п дМ) = апа2, ДЭДпЭМ) = аа2 (рис.41). Пусть <рд ((сДпЗП) (бДпЭМ)) = щ, а
<рв (д02пдП (ЗДпйМ)) = и2. На внутренней границе нашей диаграммы записано слово ПРИ этом V ~ ^о
Предположим, что т" /»-сократимо. Пусть По - область, соответствующая этому сокращению (рис.42 а), б)). Наклеим на внешнюю границу нашей диаграммы М экземпляры полосы П. Видно, что в полученной диаграмме либо появляются вершины внутренней степени 3, либо слова из Я сократимы.
Предположения о наличии Я сокращения в слове у" (рис.43 а), б)), очевидно, приводят к тем же противоречиям. Таким образом, слово у” Я, Я-несократимо и слово у является искомым.
Замечание. Концевые вершины пересечения границ областей Д и Д с границей дМ могут совпасть с первичными вершинами, но в этом случае получаем или || дМ гг ЭД|| =1 и (р\ оД || < 4 или || дМ п ЗД|| = 1 и <р||ЭД|| < 4, что противоречит условию С(4), либо области полосы П можно подклеить на дМ, либо метки этих областей взаимнообратны.
2. Пусть полоса П = ДиДи . . . иД, где к > 2. Наклеим на внешнюю границу диаграммы М экземпляры полосы П в тех местах границы дМ, где читаем метку ДЗГ1 п дМ) (рис. 44). Очевидно, что в полученной диаграмме либо появляются вершины внутренней степени 3, либо слова из Я сократимы.
11.2. Пусть в ту2 есть длинное Я -сокращение, но теперь полоса П не является полосой первого типа. Рассмотрим окружность С с меткой м> . Приклеим к ней полосу П. Используя доказательство леммы 6.1 получим, что полоса П в этом