Автоморфизмы метабелевых произведений групп

• Автор: Ушаков, Павел Вадимович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 79 с.

Введение
Автоморфизм - это одно из наиболее устойчивых понятий в математике. Зачастую немалую информацию о том или ином объекте дает описание его группы автоморфизмов. Помимо автоморфизмов изучают такие тесно связанные с ними понятия, как орбиты, стабилизаторы, неподвижные точки и. т. д. Порою изучение этих понятий приводит к созданию глубоких теорий, как произошло, например, с линейными, алгебраическими, фук-совыми группами, группами классов отображений, движений пространств и. т. д.
Иногда говорят, что задачей любой науки является полное описание тех объектов, которые эта наука изучает. С этой точки зрения задачей теории групп является полное описание всех групп. Естественно, в полной мере эта задача нереализуема, поэтому выделяют подклассы групп для изучения, например изучают конечные, бесконечные, непрерывные, разрешимые, метабелевы, нильпотентпые и иные группы. Один из классов групп, достойный изучения - группы.автоморфизмов групп. Среди обзоров по автоморфизмам групп мы отметим [24] и [19].
Представим себе, что имеется описание автоморфизмов некоторой группы G (например, в терминах порождающих и определяющих соотношений.) Допустим, что V -- характеристическая (т.е. выдерживающая все автоморфизмы) подгруппа группы G. В этом случае каждый автоморфизм а группы G индуцирует автоморфизм п группы G/V по правилу a(xV) == a(x)V и имеется естественный гомоморфизм Aut (G) —» Aut (G/V). Естественно задать два вопроса:

1) Является ли отображение Aut (G) -э Aut (G/V) сюрьективным?

2) Если отображение Aut (G) —*■ Aut (G/V) сюръективно, то каково ядро этого отображения?
Очевидно, что в случае полного ответа па указанные вопросы группа Aut (G/V) становится описанной. К сожалению, ответ на второй вопрос как правило неизвестен даже в случае сюрьективности отображения Aut (G) -» Aut (G/V). Вообще говоря, и запас описанных групп автоморфизмов невелик. Необходимо отметить несколько бесконечных дискретных групп, чьи группы автоморфизмов хорошо изучены. Во-первых, это свободные группы конечного ранга, чьи группы автоморфизмов были описаны

Нильсеном [23]. Во-вторых, это группа автоморфизмов свободного произведения неразложимых в свободное произведение групп. (В этом случае группы автоморфизмов слагаемых свободного произведения предполагаются изученными.) Впервые подобное описание было осуществлено Фукс-Рабиновичем [9]. Автоморфизмы групп Fn/V, где V О Fn - характеристична в Fn, a Fn - свободная группа конечного ранга, называют ручными. Обозначение. Пусть G - группа, V < G ~ характеристическая подгруппа. Aut (G, V) < Aut (G) - подгруппа, состоящая из тех автоморфизмов группы G, которые индуцируют тождественные автоморфизмы группы G/V.
Собственно, Aut(G, V) = Ker{Aut(G') -> Aut (G/V)). Особо выделяют группу IAnt (G) == Aut (G, G'). Автоморфизмы из IAut (G) получили название IA-автоморфизмоо (от английских слов vIdentical in Abelization”). Чем интересны эти автоморфизмы? Прежде всего, если G' группа, а V < G' её характеристическая подгруппа, то существует естественный гомоморфизм IAut,(G) —> IAut (G/V). Соответственно, можно задать вопрос о сю-рьективности и ядре этого гомоморфизма. Кроме того, если некоторый IA-автоморфизм группы IAut (G/V) индуцируется некоторым автоморфизмом группы G, то он индуцируется некоторым IA-автоморфизмом группы G. Следовательно, если IA-автоморфизм группы G/V не индуцируется некоторым IA-автоморфизмом группы G, то отображение Aut (G) —> Aut (G/V). не является сюрьоктивмым. Более того, было известно, что если все IA-автоморфизмы свободной метабелевой группы Fn/F” ручные, то и все автоморфизмы группы Fn/F” - ручные.
Приведённые выше соображения стимулировали исследование автоморфизмов и IA-автоморфизмов метабелевых групп конечного ранга.
Приведём шоке некоторые известные результаты об автоморфизмах метабелевых групп.
1. S.Bachmuth., 1965 год, [11]. Доказано, что группа Inn (F2/;) = IAut (F2/F2), откуда следует, что все автоморфизмы группы F2/F!{ - ручные. В той же работе дано вложение, позже получившее название "вложение Бахмута”.
2. O.Chein, 1968 год, [17]. Получен IA-автоморфизм свободной метабелевой группы Fs/F$tFa = Fz(x,y,z), который не является ручным. Этот ав-
' томорфизм задается при помощи отображения: < у —> у; , где
1 г -> г;
(х — I}2 6 Z(FwjF^). х - образ в Fa/F^ элемента х при естественном отображении Fa —> Fz/Fh х, у, z - образы элементов х, y,z в Fs/F^ при естественном отображении Fn —> F:JF-” и коммутант группы Fa jF." рассматривается как модуль над Z(F3/.F3).
3. S.Bachmuth, E.Formanek, H.Y.Mochizuki, 1976, [12]. Пусть R< F2,R С F%, групповое кольцо lZ(F2/R1) не содержит делителей нуля. Тогда Inn (F/R.) =
IAut (F2/R').

4. S.Badiiimtli, H.V.Mocliizuki, 1982, [13]. Доказано, что-группа Aut {F^/Ftf) бесконечно порождена, что резко контрастирует с конечной порождённо-стыо группы Aut (F-л).
5. S.Bachmuth, H.Y.Mochizuki, 1982, [14] и В.А.Романьков, 1982,[6], независимо. Доказано, что все IA-автоморфизмы и, соответственно, автоморфизмы группы FnfF" при п > 4 -- ручные.
Основные методы, которые использовались при исследовании автоморфизмов метабелевых групп - эго дифференцирования Р.Фокса и вложение С.Вахмута. В 19G5 году С.Бахмут получил вложение Aut (Fn/R', R/R!) -4 GLn(Z(Fn/R)), устанавливаемое при помощи формулы:
Aut (Fn/RR/R') Э ф-> ||д(ф(х!))/дх3\у
где d/dxj индуцированные частные производные Р.Фокса, х образы в Fn/R элементов х; Е F„, а Х{ -- образы в Fn/R' тех же элементов Xj. При этом при R — F’n вложение приобретает вид
IAut(Fn/F'') эф-^ \д{ф(хг))/дх.)||.
и матрица ||«гу||,гхп £ GLn.(Z(P1„/i?f/l)) является образом некоторого IA-автоморфизма при вложении С.Бахмута тогда и только тогда, когда для всякого г = 1, п выполнено Y^7j= j — 1) = :>:i —
Автор сконцентрировал свои усилия на изучении IA-автоморфизмов метабелевых произведений абелевых групп без кручения. Ввиду того’, что автоморфизмы свободных произведений абелевых групп полностью описаны, вопрос о сюрьективности отображения Aut (А) -4 Aut (А/А”), где А - свободное произведение абелевых групп без кручения, имеет смысл.
Пусть А — П^Гп А; - свободное произведение абелевых групп без кручения. Тогда для всякой подгруппы Р <3 А, Р С.С,С - декартова подгруппа группы А, группа PfР1 является характеристической в А/Р' (см. лемму 9). Следовательно, всякий автоморфизм группы А/P' индуцирует автоморфизм группы AfР. Можно построить такое расширение кольца А Э Z(А/Р), что всякий элемент кольца Z(А/Р) вида (х — 1),.т £ (А/Р)' обратим в А. Кольцо А - ассоциативное и с 1.
Каждый IA-автоморфизм группы А/P можно продолжить до автоморфизма кольца А и, следовательно, до автоморфизма группы GL„(A). Обозначим через GL„(A) A IAut (А/P) расширение группы GL„(A) при помощи группы IAut (А/Р),
Автор обобщил поня тие дифференцирований Р.Фокса па случай свободных произведений групп. Известно, что производные Р.Фокса тесно связаны с вложением В.Магиуса группы Fn/R' группу матриц. Аналогом вложения В.Магнуса для свободных произведений групп является вложение А.Л.Шмелькина. Автор стремился определить новые производные, чтобы

где а Є IAut [G), а 1 ф .с і Є Аі, 1 ф х2 Є А2 - произвольные элементы, является мономорфизмом.
Переформулируем лемму 13:
Лемма 23 . Пусть 1 ф х Є АіЛ ф х2 Є А2. Если А не циклическая группа, то для всякого а Є lAut(G') выполнено (ä(xi) — l)~l Di(cx(x і)) Є ZH и (ä(xі) — 1)_1Г>2(су(І;і)) Є ZH. Если A2 - не циклическая группа, то дл'я всякого а € IAut (G) выполнено (офтг) — 1)-1jD] («(жг)) Є ZН и (ö(Ä2)-l )~1D2(a(x2))eZH.
Зафиксируем далее некоторый ІА-антоморфизм а- Є IAut (G). Для доказательства теоремы 8 достаточно показать, что а Є Inn (G). Пусть 1 ф х Є Ai, 1 ф х-2 6 А‘2- Обозначим
Ап = Щіі)-*12 =Г (a(xi) - l)~‘D2(a(£i)),
*2i '= (а(ж*) - *22 '= ( «11 =r(ö_tfä,) — Г)-1 fl]( <:■» = (ö-'(*2) - l)-'A(a-'(Ä*))i 02 ‘= (e-'(*2) - lr'D^c-'fr)),
Заметим, что atl А а 12 = 1, «21 -Ь «22 ~ I • (’і1 А c2 ~ 1, c2 j -1- c22 = 1.
3.2. Базовые леммы.
3.2.1. Фундаментальное тождество.
Используя теорему 11, получим
І «11 «12 її а(сц) «(е12) 1 II 1
j «21 «22 II в(Й2і| n(fl22) 1 II 0
Тогда
і *12 *12 а(1 - е12) о(сі2) 1
*2Г 1 - *21 ї(«21,) <5(1 - <%)} 0
откуда следует (1 - Л|2)«(с12) + A‘ia(l ~ «(Qj)) = 0 и ,s2i(l - ä(ci2)) + (1 — f>2j ){n(c2J)) = 0. Сложим последние дна равенства, вычтем слева и справа ПО 1 и собрав мноэкйтели, получйм фундаментальное тождество
(1 - 312 - «21).(!. - ог(сій) - й(с2і)) = 1.
Положі-Ш дА.-te'e н і — «йь ІЇАда і). * =* — v,2 — і).