Группы с системами дополняемых подгрупп

• Автор: Савичева, Галина Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Брянск
• Количество страниц: 84 с.

ПЕРЕЧЕНЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И

УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

ГЛАВА

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

ГЛАВА

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

2.1. Обзор литературы

2.2. Используемые результаты

ГЛАВА 3 КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ

С ДОПОЛНЯЕМЫМИ СИСТЕМАМИ ПОДГРУПП

3.1. Свойства П-сепарирующих подгрупп

3.2. Конечные неабелевы р-группы с 0(Р)сФ(Р)Х(Р)
3.3. Конечные группы с 0(0)еФ(0)г(0)
ГЛАВА
ПРИМАРНО СТУПЕНЧАТЫЕ ГРУППЫ
С СИСТЕМАМИ ДОПОЛНЯМЫХ ПОДГРУПП
4.1. Предварительные результаты
4.2. Нецентрально факторизуемые группы
4.3. Локально почти разрешимые группы с П(0)сФ(0)г(0)
4.4. Примарно ступенчатые группы с 0(0)сФ(0)Х(0)
4.5. 2-группы С 0^П(0)<Ф(0)г(0)
ВЫВОДЫ
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

ПЕРЕЧЕНЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ И
УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Для удобства чтения в этом разделе приведены необходимые в диссертации обозначения и определения. Используемые в работе без ссылок обозначения, определения стандартны, их можно найти в книгах [84], [93], [73], [11].
N - множество всех натуральных чисел.
Р - множество всех простых чисел,
р, Я, г - некоторые простые числа.
1 - единичная группа или единичный элемент группы.
С/Н - факторгруппа группы О по подгруппе Н.
- элемент § принадлежит группе О. g^G ~ элемент g не принадлежит группе в.
ДС0 - множество А содержится в множестве В.
- множество А содержится в множестве В и А^В.
Д£В — множество А не содержится в множестве В.
АВ - разность множеств А и В.
АпВ - пересечение множеств А и В.
АгИЗ - объединение множеств А и В.

— группы О и й изоморфны.
Р|<0 - Н является подгруппой группы в.
Н<0 - Н является собственной подгруппой группы в
(отличной от в).
рр<](3 - Н является нормальной (инвариантной) подгруппой
(нормальным делителем) группы С.
Н;( Н) - нормализатор подгруппы Н в группе в.
Сс(Н) - централизатор подгруппы Н в группе в.
Z(G) — центр группы О.
дхд — прямое (декартово) произведение групп А и В.
А[В] или [В]А - полупрямое произведение подгруппы А и нормальной подгруппы В группы О.
|§| — порядок элемента g.
|0| - порядок группы О.
|0:Н| - индекс подгруппы Н в группе в.
л(О) - множество всех простых делителей порядка |0|
группы в.
0Р(0) — наибольшая нормальная р-подгруппа в группе О.
Ор(О) — наибольшая нормальная р'-подгруппа в группе в.
1(0) - пересечение всех подгрупп конечного индекса
группы О.
Ф(0) - подгруппа Фраттини группы О.
Б(О) - подгруппа группы О, порожденная всеми
подгруппами из О, не имеющими дополнений в й.
О' - коммутант группы О.
Ас=п2еСАё - ядро подгруппы А в группе О.
ёп) - подгруппа, порожденная элементами %2, ■■■, ёп-

Следовательно, х£ДП). Отсюда следует, что ДС)<1ХС). Пусть уеФ(С) и у^1. Так как у - непорождающий элемент группы И, то подгруппа (у) не дополняема в в. Отсюда следует, что
<у><Б(0) и Ф(О<0(0).
Лемма доказана.
4.1.3. ЛЕММА. Пусть в - произвольная группа, А, В - подгруппы группы О и N<0. Тогда, если 0=(А1Ч)В и Аг№=(АМ)пВ=1, то С=А(ИВ) и Ал(ЛВ)=1.
Доказательство. Из 0=(АИ)В следует, что С=А(МЗ). Пусть П=Ап(ИВ) и <1еО. Тогда ё=пЬ, где пеЫ, ЬеВ. Отсюда следует, что
Ь=п'1ё£ИА=АК
и, значит,
Ье(АЫ)пВ=1.
Поэтому Ь=1, <Т=п и с1еА. Из АгЛ= 1 следует, что с1=1 и, значит, 0=1.
Лемма доказана.
4.1.4. ЛЕММА. Пусть в - произвольная группа, А - подгруппа группы О. Тогда, если А подгруппа в в конечного индекса, то 1(А)=1(0).
Доказательство. Пусть К - подгруппа конечного индекса в группе А. Тогда индекс К в группе О конечен и, значит, 1(С)с.Г(А). Пусть Ь -подгруппа конечного индекса в группе в. Тогда индекс ТпА в группе А конечен и, значит,
1(А)сТгАсЬ.
Следовательно, ](А)ст.!(С). Поэтому 1(С)=1(А).
Лемма доказана.
4.1.5. ЛЕММА. Пусть в - произвольная группа и N<0. Тогда, если Б(С)<Ф(С)2(С), то
в(с/л)<Ф(о/н)г(с/м).
Доказательство. По лемме 3.1