Решение алгоритмических проблем для свободного произведения с коммутирующими подгруппами

• Автор: Новикова, Ольга Александровна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Тула
• Количество страниц: 70 с. : ил

Содержание
Введение
Глава 1. О централизаторах элементов для свободного нроизве- 10 дения с коммутирующими подгруппами

1.1. Описание централизатора элементов со слоговой длиной

единица

1.2. Доказательство общего случая

Глава 2. Описание пересечения централизаторов элементов

2.1. Построение пересечения конечного числа циклических подгрупп и свободных абелевых ранга
2.2. Построение пересечения циклических подгрупп и централизаторов элементов со слоговой длиной единица

2.3. Построение пересечения свободных абелевых подгрупп ран-

га 2 и централизаторов элементов со слоговой длиной единица
2.4. Построение пересечения конечного множества централизаторов элементов со слоговой длиной единица
Глава 3. Решение обобщенной проблемы сопряженности
3.1. О пересечении смежных классов централизаторов элементов
3.2. Разрешимость проблемы обобщенной сопряженности
Литература
ВВЕДЕНИЕ
Основными алгоритмическими проблемами в теории групп, поставленными М. Деном [4] в одной из его работ в 1911 году, являются проблемы равенства и сопряженности в конечно определенных группах и проблема изоморфизма групп.
Исследование этих проблем стимулировало развитие комбинаторных методов в теории групп, что явилось причиной возникновения одного из самых активно развивающихся направлений современной математики - комбинаторной теории групп. В настоящее время имеется целый ряд книг, посвященных данной теме; среди них достаточно назвать монографии Карраса, Магнуса и Солитера [22], а также Линдона и Шуппа [20].
Среди работ, связанных с исследованием проблем М. Дена, наиболее выдающимися являются работы П. С. Новикова [31], доказавшего неразрешимость проблемы равенства слов в конечно определенных группах; им же доказана неразрешимость проблемы изоморфизма групп. Примеры конечно определенных групп с неразрешимой проблемой равенства были даны Буном [2].
С.И. Адяном [9] определено понятие наследственного нетривиального свойства группы и доказано, что не существует алгоритма, позволяющего для произвольной группы с конечным числом образующих и определяющих соотношений распознать выполнимость свойства /3, представляющего собой объединение нетривиального наследственного инвариантного свойства, если только существуют группы, обладающие этим свойством /3.
Из этого следует, что практически все проблемы, относящиеся к конечно определенным группам, в общем случае неразрешимы.
Отрицательное решение проблемы равенства слов явилось причиной изучения проблем Дена в определенных классах групп.
Для групп с разрешимой проблемой равенства слов возникает более общая проблема - проблема вхождения, впервые рассмотренная Нильсеном в

свободных группах и Магнусом в группах с одним определяющим соотношением для так называемых магнусовых подгрупп.
Известно, что проблема вхождения в классе всех конечно определенных групп неразрешима, что непосредственно следует из связи между проблемой вхождения и проблемой равенства слов. Поэтому естественен интерес к изучению рассматриваемой проблемы для каких - то фиксированных классов групп. Как было отмечено выше, положительное решение проблемы вхождения в свободных группах следует из результата Нильсена.
К. А. Михайловой [28] этот результат был обобщен на свободное произведение групп, доказано, что если в группах А к В разрешима проблема вхождения, то она разрешима в их свободном произведении.
В отличие от свободного произведения, прямое произведение групп, как доказала К. А. Михайлова [29], не наследует свойства сомножителей иметь разрешимой проблему вхождения.
Обобщением проблемы сопряженности слов является проблема обобщенной сопряженности слов, проблема степенной сопряженности и проблема сопряженности подгрупп.
Определение 1. Под обобщенной проблемой сопряженности слов в
группе С понимается решение в С системы уравнений &-'=1( г игд — У;),
где гг,, V,, / = 1, п — фиксированные элементы группы С.
Существование такого алгоритма для некоторого класса конечно определенных групп позволяет для любого автоморфизма '~р 6 АшС определить, является ли он внутренним.
Проблема изоморфизма конечно порожденной коммутативной полугруппы сводится к проблеме обобщенной сопряженности слов в классе СЬИ(/%) групп. Отсюда следует, что решение данной проблемы является важной задачей в комбинаторной теории групп.
С описанием множества решений данной системы связана проблема построения централизатора конечно порожденной подгруппы.

Тогда, если / /а'Д/ 12'/21а'11 существует и хотя бы один из образую-

г-1 — -г
щих циклически несократим, то все а г, д,<2 — циклически несо-
кратимы.
Лемма 2. Пусть и Z2/^ =(^2» я), гд абелева подгруппа ранга 2 группы С. Существует алгоритм, выписывающий образующие пересечения подгрупп Z ■'' и Z ;.
Доказательство. Рассмотрим подгруппы Z^/; =(gl') и Z^/' «),
где Ч/ - а',6', а'2Ь'2...а'пЪ'п, g2 = а1Ь,а2Ь2...атЬт, а = /* £ Я и слово g2 удовлетворяет следующей системе условий :
а]'асу £ Я,
< ат1_1...а^,аа1...а1П_1 £ Я, (1)
сСп‘ ...а]' ааг..ат = ае Н Ь,,Ь2,...,ЬтеК.
Причем и как и в предыдущем случае, можно считать циклически /? - приведенными.
Если пересечение подгрупп Z|/'l и Zr,/' не единичная подгруппа, то
(с/ Ъа '2 Ъ ...а ’п Ъ )' = (а,к,а2к2. ..аткт)' а2.
Возведем обе части этого равенства в степень пт:
Равенство возможно, если пх — ту.
( ~тУ / //д
Предположим, что пх > ту. Но тогда в слове (у2 ) I у"1 I Я — со-
( п ~ту
кращения могут уничтожить все слово • Оставшееся слово