Т-радикалы в категории модулей

• Автор: Тимошенко, Егор Александрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 77 с.

Основные обозначения

ГЛАВА I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

§1. Из теории радикалов модулей

§2. Основные свойства функторов (8) и Нот

§3. Т(Г)-радикалы и Е(У)-радикалы

ГЛАВА II. Т-РАДИКАЛЫ И Е-РАДИКАЛЫ

§4. Т(е)-модули, Е(е)-модули

и связанные с ними радикалы

§5. Т(е)-модули и Е(е)-модули над факторкольцом

ГЛАВА III. Т(.Е)-РАДИКАЛЫ

В КАТЕГОРИИ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП
§6. Т(Г)-радикалы абелевых групп
и образуемая ими решётка
§7. Свойства замкнутости классов Т(Г)-групп
§8. «Решёточное» и «поточечное»
пересечения Т(Г)-радикалов
Литература

Основные обозначения
Е, 5 кольца
Ад, 3В некоторые правый и левый модули над кольцом
кАд Д-5-бимодуль А
®, П прямая сумма, прямое произведение
А/В фактормодуль модуля А по подмодулю В
С включение (не обязательно строгое)
р некоторое простое число
Р множество всех простых чисел
Z кольцо (и группа) целых чисел
Z(n) циклическая группа порядка п
квазициклическая группа группа рациональных чисел С}р группа рациональных чисел, знаменатели
которых взаимно просты с р 0,^ группа рациональных чисел, знаменателями
которых являются степени числа р 1;(А) периодическая часть группы А
Ар или tp(A) р-компонента группы А
с1(А) наибольшая делимая подгруппа группы А
А®д В тензорное произведение
модулей Ад и дВ над кольцом 5 А® В тензорное произведение групп А и В
Нот5(Л, В) группа 5-гомоморфизмов из модуля Ад в модуль Вд
Нот(А, В) группа гомоморфизмов из группы А в группу В
тос1-5, 5-тос1 категории правых и левых 5-модулей
(а также классы объектов этих категорий)
1т р>, Кег (р образ и ядро гомоморфизма

Актуальность темы. При рассмотрении алгебраических систем основной задачей является построение структурной теории. Структурные теоремы сводят изучение алгебраических систем к изучению «более просто устроенных». Одну из конструкций, осуществляющих подобное сведение, представляет радикал. С тех пор, как в 1950-х гг. Курош [7] и Амицур [16] ввели понятие радикала для колец и алгебр, теория радикалов распространилась и на другие алгебраические структуры, в числе которых модули и группы.
Радикалы позволяют выделять классы модулей, обладающих различными свойствами, проводить их классификацию и дальнейшее более детальное изучение. На зрелость направления, связанного с радикалами модулей, указывает наличие заметного количества монографий по этой теме (Мишина и Скорняков [9], Кашу [3, 4], Ламбек [27], Голан [23] и ряд других). Во многих работах отечественных и зарубежных алгебраистов (Курош, Рябухин, Гарднер, Диксон и др.) рассматривались радикалы абелевых групп (т.е. модулей над кольцом целых чисел).
С другой стороны, интенсивно изучаются взаимосвязи между свойствами модулей и абелевых групп. К данному направлению относятся работы о Е-кольцах и Е-модулях. Первое из этих понятий появилось в 1973 г. в статье [30]: Е-кольцами были названы кольца Я, для которых Нотд(Д, Я) — Нот(Д, Я). Позже это определение было распространено на модули: Е-модуль Ап задаётся равенством Нотл(/?, А) = Нот(Д, А). Е-модули впервые появились в [17], где они были названы Д-группами. Одной из самых полных работ, посвящённых Е-модулям, является [28]. Применения Е-колец и Е-модулей в теории абелевых групп весьма разнообразны; в книге [6] содержится обзор наиболее важных результатов, связанных с данной проблематикой.
квазициклические группы).
Введём на Мх отношение порядка: п ^ т ^ I. Далее, пусть Мх есть множество, состоящее из всех последовательностей вида
О! ®3> ®5> ■" )> (1“^)
члены которых занумерованы простыми числами и входят в Мх. На Мх естественным образом задаётся частичный порядок: будем считать, что а ^ /3 в том и только в том случае, когда ар ^ Рр для всякого простого числа р. Легко заметить, что относительно этого порядка Мх является полной дистрибутивной решёткой.
Определим отображение (рх: Сх М[ следующим образом:
¥’l(Wp) = (фр{2),фЕ(3), В силу проведённых ранее рассуждений такое отображение, во-первых, определено корректно, а во-вторых, является биекцией.
Теорема 6.3. Частично упорядоченное множество Сх является полной дистрибутивной решёткой; отображение <рх есть изоморфизм решёток. Нулём и единицей решётки Сх служат радикалы ¥2 = 0 и 1 соответственно.
Доказательство. Имеют место следующие эквивалентности: рфЩ) Ф <рх(Чс) фр(р) ^ ф°(р) для любого р Е Р
(9)
<=> УР(Л) С УС(А) для любой р-группы А ■<==> ¥р < УС.
Итак, отображение <рх есть изоморфизм частично упорядоченных множеств. Следовательно, оно является также изоморфизмом решёток [11]. Отсюда можно заключить, что Сх — полная дистрибутивная решётка. Её наименьший и наибольший элементы очевидны. □
Следующее предложение показывает, что каждый радикал из Сх можно представить как Е(У)-радикал.