Коммутативно-алгебраический подход к исследованию полиномиальных тождеств и Т-пространств

• Автор: Гришин, Александр Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 142 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава 1. Показатель роста многообразия алгебр
и его приложения
§ 1. Предварительные факты, обозначения и определения
§ 2. Показатель роста представимого многообразия
§ 3. Аддитивность показателя роста относительно
ниль-произведения
§ 4. Относительный показатель роста гиперцентрального
многообразия
§ 5. Некоторые приложения
Глава 2. О конечной базируемое™ систем обобщенных
многочленов
§ 1. Предварительные определения, обозначения
и результаты
§ 2. Символическая степень и некоторые другие понятия
и конструкции
§ 3. Технические леммы. Рассмотрение случая Г ’
§ 4. Основной результат
§ 5. Основной результат для обычных многочленов
§ 6. Разложение в Ж- произведение жесткого
подмногообразия и (х, ти)-компоненты
§ 7. Представимость
Глава 3. О конечной базируемое™ абстрактных '/-пространств
§ 1. Основные определения, предложения и примеры
§2. Доказательство предложений 2 и 3. Оператор 8а
§ 3. Доказательство основного результата
Глава 4. Примеры не конечной базируемое™ Т-пространств
и Т-идеалов в характеристике
§ 1. Бесконечно базируемое Г-пространство над полем
характеристаки
§ 2. Об аналоге проблемы Шпехта для полей
характеристики р >
§ 3. Коммутативный случай
Литература
Введение
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. В современной алгебре весьма важную роль играет понятие многообразия тех или иных алгебраических объектов (групп, ассоциативных алгебр, алгебр Ли, алгебр, близких к ассоциативным и т.д.). Теория многообразий позволяет посмотреть на многие на первый взгляд различные и непохожие задачи с единой концептуальной позиции. У истоков теории стояли такие выдающиеся математики, как А.И. Мальцев, Г. Биркгоф, Б. Нейман, Н. Джекобсон, И. Капланский, Ш. Ами-цур, Дж. Левицкий, А.И. Ширшов и др. (см. [52, 53. 110, 112, 101, 103, 86, 84]).
С первых же исследований по этой тематике с неизбежностью возникает вопрос: Можно ли данное многообразие задать конечной системой тождеств (проблема конечной базируемости)? Другой вопрос, который бывает связан с первым, можно поставить так: Какой конкретно системой тождеств задается многообразие, порожденное данным набором своих объектов (может быть, одним объектом)? Если на эти два вопроса ответить не удается, то в многообразиях алгебр (ассоциативных, близких к ассоциативным, лиевских) имеет смысл ставить по крайней мере следующий вопрос: Какова асимптотика некоторых размерностных функций, связанных с тождествами данного многообразия?
Задачи такого типа мы будем называть комбинаторными вопросами теории многообразий (теории Р1-алгебр). К настоящему времени накопилась довольно большая информация, связанная с решением этих задач в различных многообразиях (как положительного характера, так и контрпримеры)
Не ставя целью сделать сколько-нибудь полный обзор, рассмотрим коротко лишь некоторые направления исследований.
Работа В. Шпехта [124] положила начало исследованиям по следующему вопросу (проблеме Шпехта): Будет ли конечно базируемо любое многообразие ассоциативных алгебр над полем нулевой характеристики?
Другая, по-видимому, еще более трудная задача (связанная, на самом деле, с предыдущей): Что из себя представляет базис тождеств данной

конечномерной алгебры (например, алгебры п х п-матриц)?
Эти вопросы интенсивно изучались (не только в нулевой характеристике) в разные годы в основном представителями российской и болгарской школ. Целый ряд хорошо известных и ставших уже классическими результатов был в свое время получен В.Н. Латышевым, Ю.П. Размысловым, А.Р. Кемером, И.В. Львовым, Ю.Н. Мальцевым, Е.Н. Кузьминым, Г.К. Геновым, А.П. Поповым, П.Н. Сидеровым и др. (см. [39—45, 29—33, 55, 14—18, 76—79, 71, 81]). Большую научную и организационную роль в привлечении внимания молодых математиков к трудным и интересным проблемам теории многообразий сыграла педагогическая деятельность А.И. Кострикина, В.Н. Латышева, A.B. Михалева, А.Л. Шмелькина и других преподавателей кафедры алгебры МГУ им. М.В. Ломоносова. Трудно переоценить роль новосибирской школы.
Окончательное (положительное) решение проблема Шпехта получила в работе А.Р. Кемера [32]. Вслед за этим появились аналоги теоремы Кемера сначала для йордановых алгебр (А.Я. Вайс, Е.И. Зельманов [11]), а затем для лиевских и альтернативных алгебр (A.B. Ильтяков [26, 27]).
В случае многообразия ассоциативных алгебр над полем нулевой характеристики проблема Шпехта эквивалентна так называемой локальной проблеме Шпехта: Всякий ли Т-идеал, порожденный системой многочленов от конечного множества переменных, конечно базируем? Весьма нетривиальное доказательство этого факта следует из результатов А.Р. Кемера и теории многообразий -градуированных алгебр, построенной им в работе [31], которая является, по сути дела, ключевой в решении проблемы Шпехта. Именно этим замечательным фактом пользуется автор, выводя из своих результатов положительное решение проблемы Шпехта (по модулю редукции к локальному случаю).
Наиболее сильным, на наш взгляд, результатом по описанию базиса тождеств конечномерной алгебры над полем нулевой характеристики (а именно, алгебры 2 х 2-матриц) является работа Ю.П. Размыслова [74]. Для матриц более высокого порядка проблема нахождения базиса тождеств (конечного, по теореме Кемера) остается открытой и, как представляется, весьма трудной.
Конечная базируемость многообразия, порожденного конечной (ассоциативной, альтернативной, йордановой) алгеброй была доказана в работах И.В. Львова, Ю.А. Медведева, Р. Крузе (см. [44, 45, 48, 106]). В алгебрах Ли аналогичный факт был доказан Ю.А. Бахтуриным и А.Ю. Ольшанским [5].

nm(m+l)
Таким образом, dim Fc(n)ip0 является суммой нескольких функций
от натурального аргумента п, каждая из которых имеет порядок роста не
выше, чем nr (rf-1) + 1. Следовательно,
dim Fc(n) <( п (d-1) +

То, что dim Fc(n) )> nr (d-1) + 1> прямо вытекает из наличия сюръективно-го гомоморфизма из F в свободную алгебру многообразия Var (кг) и отсутствия в последней делителей нуля.
Теорема доказана.
Замечание. Теорема 1 из [133] в ассоциативном случае является следствием теоремы 3 и предложения 1, доказываемого в следующем параграфе.
§ 5. Некоторые приложения
1. Ограниченность длин некоторых убывающих цепочек многообразий.
Многообразие 91 назовем г-замкнутым, если 91 = Var {А), где алгебра А унитарно содержит подалгебру kr (т.е. А и kr имеют общую длину). При г = 1 получаем определение унитарно замкнутого многообразия.
Многообразие правоальтернативных алгебр 91 назовем г-ограниченным слева относительно некоторого центрального на алгебре kr многочлена <р (хх
Аналогично определяется многообразие левоальтернативных алгебр, r-ограниченное справа (рхс (d) = г2, (d — 1 ) + 1 ).
Многообразие альтернативных алгебр, r-ограниченное справа и слева, назовем просто г-ограниченным.
Примером r-ограниченнного многообразия может служить любое гипер-центральное многообразие сложности г, а также сумма его с любым многообразием альтернативных алгебр, имеющим нижний показатель роста г (d), не больший чем г1 (d - 1 ) + 1. В свою очередь, в качестве такого примера можно рассмотреть подмногообразие альтернативных алгебр в многообразии 91 s , порожденное всеми 5-мерными -алгебрами, где s < г2 - 1. В самом деле, согласно [133], x(d) < d s, но d s < d (г2, - 1), что меньше т*2 (d — 1 ) + 1 при достаточно больших d.