Прямые разложения артиновых модулей

• Автор: Пименов, Константин Игоревич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 51 с.

Содержание
1 Введение
2 Лемма Фиттинга и ряд Леви
3 Теорема Крулля-Шмидта
4 Модули над матричным кольцом
5 Артиновы модули и абелевы группы без кручения
6 О кольце эндоморфизмов артинова модуля
7 Аномалии прямых разложений над локальным кольцом
8 Теорема Корнера-Цассенхауза
9. Литература

1 Введение
Центральной темой этой работы является теорема Крулля-Шмидта о единственности прямых разложений. Этот результат в буквальном смысле лежит в основе теории представлений. Существуют разнообразные формулировки этой теоремы для различных алгебраических систем. А.Г.Курошу, например, принадлежит вариант этой теоремы для групп. Нас будут интересовать разложения модулей в прямую сумму конечного числа слагаемых. Напомним классическую формулировку:
Теорема Крулля-Шмидта. Пусть М - артинов и нетеров модуль над произвольным кольцом Я и даны два разложения в прямую сумму неразложимых слагаемых:
М = М1 ф М2 ® © Мк и М = ® N2 © © N1.
Тогда к = I и существует такая перестановка о, что М,- изоморфен при i = 1 ..к.
Кратко говорят, что разложение в прямую сумму неразложимых слагаемых единственно с точностью до изоморфизма. В этой ситуации будем говорить, что для модуля выполняется теорема Крулля-Шмидта. Позже было замечено, что в доказательстве этой теоремы определяющую роль играет локальность колец эндоморфизмов неразложимых модулей; она имеет место для артиновых и нстеро-вых модулей, но не только для них. Теорема о единственности прямых разложений для модуля, раскладывающегося в прямую сумму модулей с локальными кольцами эндоморфизмов, носит в литературе название теоремы Крулля-Шмидта-Ремака-Адзумая [1, Глава 7]. Независимо от Г. Адзумая этот факт был использован З.И.Боревичем и Д.К.Фаддеевым при изучении р-адических представлений.
Обсудим вопрос об обращении Теоремы Адзумая. Для этого введем понятие замены. Говорят, что модуль М обладает свойством за-

мены, если любых модулей A,X,Y таких, что М ® А = X фУ, найдутся подмодули Xi С X, Yi С Y такие, что М ® А — Xi ф Ух ® А. Обращаем внимание, что имеется ввиду именно равенство, а не изоморфизм. Справедливо
Утверждение. Неразложимый модуль обладает свойством замены тогда и только тогда, когда его кольцо эндоморфизмов локально.
Для модулей со свойством замены разложение в прямую сумму однозначно, точнее, любые два разложения одного и того же модуля в конечную прямую сумму имеют изоморфные уплотнения. Таким образом, из свойства замены вытекает теорема Крулля-Шмидта. Обратное, вообще говоря, неверно, примером чему являются вполне разложимые абелевы группы без кручения: теорема Крулля-Шмидта для них выполняется, но кольцо эндоморфизмов группы ранга 1 не обязано быть локальным [6, Глава 14].
Весьма любопытным является ослабление свойства замены -свойство сокращения. Говорят, что модуль М обладает свойством сокращения, если для любых модулей АиВ из АфМ=ВфМ следует А = В. Оказывается, модуль обладает свойством сокращения тогда и только тогда, когда стабильный ранг его кольца эндоморфизмов равен 1. В частности, это так, если кольцо эндоморфизмов полулокально.
Большая часть понятий, связанных с прямыми разложениями, может быть переформулирована на языке колец эндоморфизмов. Назовем идемпотенты ей/ кольца R изоморфными, если проективные Д-модули Re и Д/ изоморфны. Если идемпотенты сопряжены внутри кольца Д, то они изоморфны. Для полулокального кольца верно и обратное: изоморфные идемпотенты обязательно сопряжены.
Между разложениями модуля М = АД ф М2 ® - Ф М* в прямую сумму подмодулей и разложениями кольца Е = End(M) в прямую

ложений над кольцом, имеющим 2 максимальных идеала. Возникает вопрос [9, Problem 7], нельзя ли обойтись одним максимальным идеалом? Иначе говоря, существуют ли контрпримеры к теореме Крулля-Шмидта для артиновых модулей над локальным кольцом?
Если мы хотим ограничиться кольцами, аддитивная группа которых имеет конечный ранг, то ответ отрицательный ( следствие 3.3. к теореме З.1.).
Отметим, что такое кольцо может быть ни нетеровым, ни коммутативным, и циклический артинов модуль над ним может иметь бесконечную длину. Таким образом, мы нашли новый контекст, в котором выполняется теорема Крулля-Шмидта.
Первая промежуточная цель: построить кольцо, не удовлетворяющее условиям теоремы 3.1. и обладающее циклическим артиновым модулем бесконечной длины.
Кольцо, описываемое ниже, является локальной А:-алгеброй, поле вычетов которой есть к(х ).
Пример 7.1. Существует циклический артинов модуль длины и> + 1 над локальным кольцом, для которого не выполняется обобщенная лемма Фиттинга.
Пусть F — к(х), А — локализация к[х] по идеалу, порожденному х, А -локализация Ft] по идеалу, порожденному t. Рассмотрим fc-алгебру R =< Л, а >, в которой выполнены соотношения
аАа = 0, at — 0, ta = ах. (* * *)
В силу первого из них элемент а лежит в первичном радикале N С А. Легко видеть, что R/N = А, поэтому R - локальное кольцо с полем вычетов F. Всякий одночлен из R, содержащий а, приводится к виду ra,xnf, где г Е R*,f € А*, п Е Ъ. Обозначим через h подпространство, натянутое на и tA и одночлены, у которых п > —к. По определению tlk С Ik-1- Очевидно, все Ik являются левыми идеалами