О шпехтовости разрешимых многообразий коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики 3

• Автор: Бадеев, Александр Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 82 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. ШПЕХТОВОСТЬ МНОГООБРАЗИЯ NкAnNзNm КОММУТАТИВНЫХ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГЕБР НАД ПОЛЕМ ХАРАКТЕРИСТИКИ
§1Л. Шпехтовость многообразия А/ДпЛУУ»,
§1.2. Бесконечнобазируемое многообразие коммутативных альтернативных алгебр
ГЛАВА II. МНОГООБРАЗИЕ А3А2 КОММУТАТИВНЫХ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ НИЛЬ-АЛГЕБР ИНДЕКСА 3 НАД ПОЛЕМ
ХАРАКТЕРИСТИКИ 3
§2.1. Вспомогательные алгебры
§2.2. Многообразия центрально-метабелевых алгебр
§2.3. Многообразие А3А2
ГЛАВА ІН. БЕСКОНЕЧНЫЕ НЕПРИВОДИМЫЕ СИСТЕМЫ ТОЖДЕСТВ КОММУТАТИВНЫХ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГЕБР НАД ПОЛЕМ ХАРАКТЕРИСТИКИ 3 И КОММУТАТИВНЫХ ЛУП МУ-
ФАНГ
§3.1. Бесконечная неприводимая система тождеств коммутативных
альтернативных алгебр
§3.2. Бесконечная неприводимая система тождеств коммутативных
луп Муфанг
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
Одним из аспектов изучения тождеств неассоциативных алгебр, в частности, алгебр близких к ассоциативным, является конечнобазируе-мость многообразий. Если каждая алгебра из многообразия М обладает конечным базисом тождеств, то такое многообразие называется шпехто-вым (по имени немецкого математика). Сама проблема, является ли данное многообразие шпехтовым, известна как проблема Шпехта. Шпехт [40] сформулировал свой вариант проблемы, ставший ныне классическим, в 1950 году для ассоциативных алгебр над полем характеристики нуль. На пути решения классического варианта проблемы Шпехта значительные результаты были получены во многих конкретных многообразиях и классах ассоциативных алгебр. Так, В.Н.Латышев [14-16], а также Т.К.Генов [5], А.П.Попов [20] показали локальную шпехтовость нематричных многообразий над полем нулевой характеристики. Исследовались тождества матричных многообразий. См., например, [3, 4, 13, 17, 26]
Классический вариант проблемы Шпехта получил окончательное решение А.Р.Кемером [10] в восьмидесятые годы. Оказывается, что конечным базисом тождеств обладает любое многообразие ассоциативных алгебр над полем характеристики нуль. Им же [11] положительно решен локальный случай для бесконечного поля простой характеристики.
В глобальном случае для поля простой характеристики проблема оставалась нерешенной. Но недавно автору стало известно, что A.B.Гришиным, А.Я.Беловым и В.В.Щиголевым независимо получены некоторые результаты по этой проблеме.
В первое время проблема Шпехта рассматривалась исключительно
как проблема теории ассоциативных алгебр. В середине 60-ых годов некоторые математики начали распространять эту проблему на многообразия неассоциативных алгебр и в первую очередь на многообразия алгебр, близких к ассоциативным.
Исследования вопросов конечной базируемости в многообразиях алгебр, близких к ассоциативным, показали, что в некоторых многообразиях существуют нешпехтовы подмногообразия. А коль скоро это установлено, возникает потребность в нахождении различных условий для выделения в многообразии как шпехтовых подмногообразий, так и не-шпехтовых подмногообразий. Далее, следует отметить, что в силу специфики неассоциативных многообразий, тождества там всегда играли особую роль, а общая задача описания тождеств, в частности, вопросов конечной базируемости, занимает в теории неассоциативных многообразий одно из центральных мест. Таким образом изучение структуры многообразий алгебр с точки зрения проблемы Шпехта совершенно естественно, более того, как показывают результаты, весьма плодотворно.
Настоящая диссертация состоит из трех глав и посвящена изучению вопросов конечной базируемости и установлению некоторых свойств шпехтовых многообразий разрешимых коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики 3.
Одним из первых, кого заинтересовали вопросы конечной базируемости многообразий алгебр, близких к ассоциативным, был А.И. Мальцев. В 1966 году на Втором Всесоюзном симпозиуме по теории групп в городе Батуми им [12] были сформулированы вопросы о шпехтовости многообразий алгебр Ли и многообразий, порожденных конечными алгебрами Ли.
Одним из наиболее значительных результатов в этой области является доказательство А.В.Ильтяковым [38] шпехтовости многообразия, порожденного конечномерной алгеброй Ли.

С: = С,гп Var (Xм), С3/ = СпГ Var (х3у), можем сформулировать основной результат параграфа:
любое неншьпотентное многообразие М централъно-метабелевых алгебр, т.е. Мс С, либо совпадает с одним из многообразий'.
С n Var (х3) = Var (А0), С n Var (х4) = Var (Аг), С = Var (А2),
С п Var (х у) = Var (А3); либо для подходящего числа п выполнено одно из соотношений:
СсМсС3+2, С4сМсС4+2, CnciMczCn+2, C?cM В качестве следствия вычислено значение топологического ранга многообразия центрально-метабелевых коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики 3: rt(C)=3.
Базис свободной метабелевой алгебры.
Положим, В q D - многообразие метабелевых алгебр, т.е. алгебр с тождествами
(Х|Х2)(хзХ4) = 0.
В этом пункте докажем три леммы о метабелевых многообразиях.
Лемма 1. Нильпотентность многообразия М централъно-метабелевых алгебр равносильна нильпотентности многообразия МпВ метабелевых алгебр.
□ Пусть М с С. Если М Г В нильпотентно, то хіХ2...х„ є FiM). Отсюда в силу центральной метабелевости справедливо равенство XiX2...X„Xn+;=0 в алгебре F(M). □
Лемма 2. Пусть F = F(B) - свободная алгебра многообразия В метабелевых алгебр. Тогда множество полилинейных одночленов вида
xjxiixi2'"xin-i’ Fii (1)
образуют базис пространства U(F).