О росте порядков заданных подмножеств централизаторов инволюций конечных простых групп

• Автор: Голованова, Ольга Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 57 с. : ил.

Наиболее употребительные обозначения

Глава 1. Основная задача и ее решение в группах

с одним классом сопряженных инволюций

§ 1.1. Постановка задачи и основные результаты

§ 1.2. Предварительные свойства

§ 1.3. Группы с одним классом сопряженных инволюций

§ 1.4. Значения параметра вложения инволюций

в диэдральных и некоторых простых группах

Глава 2. Оценка параметра вложения инволюции т и числа 1Со(т) П т° в конечных простых группах

§ 2.1. Симметрические и знакопеременные группы

§ 2.2. Группы лиева типа над конечным полем

четного порядка
§ 2.3. Исследование гипотез 1 и 2 для групп РБЬ^)
Список литературы

По известной теореме Фейта - Томпсона, конечная простая неабелева группа всегда содержит инволюцию. Около полувека назад Р. Брауэр доказал следующую теорему:
Существует только конечное число конечных простых групп с заданным централизатором инволюции [1].
Эта теорема послужила в 50-е — 70-е годы XX века фундаментом программы классификации конечных простых групп по заданному централизатору инволюции. Как обычно, класс сопряженных элементов с представителем т в группе 67 обозначаем через т°, а централизатор т в О — через Сс(т). В различных исследованиях последних десятилетий вызывала интерес зависимость порядка конечной простой группы от определенных заданных подмножеств централизаторов ее инволюций. Именно на этом пути возникла (см., например, [36]), исследуемая в диссертации
Гипотеза 1. Для любого натурального числа М существует только конечное число конечных простых групп С, имеющих инволюцию г с условием Сс{т) Птс| < М.
Инволюцию т в группе 67 называют конечно влоэ/сенпой, если пересечение дСо(т) П (тстс) конечно при всех д 6 67, и называют конечной инволюцией, если она порождает конечную подгруппу с каждой сопряженной инволюцией. Важным явилось следующее понятие.
Определение 1 [121. Параметром вложения инволюции т в группе 67, называется число
6(67, т) = гпахдС0{т) П {т°т°)|.
Это понятие лежит в основе следующего обобщения теоремы Брауэра на периодические группы, которое В.П. Шунков разрабатывает с 2001-го года (анонс см. [17], [18]):
Существует только конечное число периодических простых групп с инволюцией и с заданным конечным параметром вложения этой инволюции, причем все они конечны.
Доказательство обобщения редуцируется к конечным группам с помощью характеризации групп с конечной и конечно вложенной инволюцией [15], [18]. Обобщение основывается на следующем предположении.
Гипотеза 2. Число конечных простых групп с заданным конечным параметром влоо/сепия инволюции — конечно.
Очевидно, из справедливости гипотезы 1 следует справедливость и гипотезы 2, поскольку выполняется неравенство
<(<7, т) > Са{т) Пт°.
По модулю классификации конечных простых групп обе гипотезы достаточно подтвердить для бесконечных семейств знакопеременных групп и групп лиева типа.
В диссертационной работе гипотезы 1 и 2 исследуются по модулю классификации конечных простых групп. Получены следующие основные результаты:
— доказана конечность числа простых конечных групп (7 с одним классом сопряженных инволюций с инволюцией т такой, что Сс(т) П т° < М для любого наперед заданного М;
— доказано аналогичное свойство для групп Р5Х„(д) с четным д, знакопеременных и симметрических групп.
Тем самым, в классах указанных групп подтверждаются гипотезы 1 и 2. Частичное подтверждение эти гипотезы находят для других классов групп. А именно, для наперед заданного М неравенство Со{т)Пт° > М доказано
§ 2.3. Исследование гипотез 1 и 2 для групп
РвЬп(Ч)
В этом параграфе доказывается
Теорема 2.3.1. Пусть М - произвольное натуральное число и б? = Р5Хп(д). Если порядок |(?| группы С? достаточно большой, то для любой инволюции т из С, с условием диагонализируемости в при нечетном д, имеем
Сс(т)Пта> М.
^ ЯЬгЬ)-сопряжена при четном или нечетном д соответственно с матрицей
(Над (-1,1).
Доказательство. При четном д указанные матрицы сопряжены даже в группе 5X2(2) — 5з- Сравнивая характеристические многочлены указанных матриц при нечетном д, получаем их сопряженность по теореме Жордана в бХД?); в силу диагональности одной из матриц и ее централизатора, матрицы сопряжены также в группе 5Х2(д). Лемма доказана.
Доказательство теоремы 2.3.1. Ясно, что если порядок |б?| группы б? = Р5Хп(д) возрастает, то растет либо п, либо д и нам потребуется рассматривать обе возможности. Случаи п = 2, 3 рассмотрены в § 1.3 данной работы и далее считаем п > 3.
Выберем произвольную инволюцию т группы 67 = Р5Х„(д) как в теореме. Все характеристические корни матрицы, соответствующей т в 5Хп(д), равны ±1. Отсюда легко следует, что т приводится к жордановой форме 7 сопряжением в группе С?. Когда д - нечетное число, У является диагональной матрицей с элементами ±1 по главной диагонали.
Лемма 2.3.2 Инволюция