Деформации диофантовых квадратичных систем

• Автор: Бударина, Наталья Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Владимир
• Количество страниц: 144 с.

Оглавление
Введение

1 Локальные вложения и ортогональные дополнения

§1 Целочисленные квадратичные формы и их инварианты

§2 Классификация примитивных представлений форм

§3 Вес представлений квадратичной формы родом форм

§4 Примитивные вложения решеток

§5 Вложение форм над локальными кольцами

§6 Вложение форм в кубические решетки

2 Однородные диофантовы системы

§1 Однородные специализации квадратичных форм

§2 Полнота рода
§3 Орбитальная масс-формула
§4 Разделение родов квадратичных форм
3 Неоднородные диофантовы системы
§1 Неоднородные специализации квадратичных форм
§2 Уравнения высших степеней
§3 Проблема близнецов
Литература

Введение
1. Одной из центральных проблем арифметической теории квадратичных форм является задача получения точных формул для числа представлений X формы А квадратичной формой ф , т. е. нахождение количества целочисленных решений матричного уравнения
<5[АА] = %ХдХ — А, ХеМп,т(Ж), (1)
где Мп^т(Ж) - множество матриц размера п х т с коэффициентами из кольца целых чисел Ъ .
Цель данной работы - найти метод получения различных диофанто-вых квадратичных уравнений (1) как специализации одной универсальной объемлющей системы.
Для достижения поставленной цели необходимо решить ряд исследовательских задач:
1. изучить ортогональные дополнения форм, используя вложения над локальными кольцами;
2. получить с помощью специализаций сечения квадратичных форм кубических решеток, приводящих к матричным уравнениям;
3. показать, как специализации приводят к формулам числа целых представлений форм соответствующими сечениями.
В основе исследований лежит локальный метод Минковского-Хассе, ад-

дитивный метод склейки форм, теория вложения форм над кольцами р-адических чисел, теория р-адических символов и метод дополнения Конвея и Слоэна.
Новизна данной диссертационной работы заключается в следующем:
1) вводятся специализации для матричных квадратичных уравнений, приводящие к квадратичным уравнениям для форм меньшего числа переменных;
2) разработан метод деформации формулы веса для числа представлений, сохраняющий ее структуру и позволяющий из известных формул для числа представлений квадратичных форм родом форм находить бесконечное множество других формул веса для уравнений и систем, имеющих меньшее число переменных;
3) найден способ решения уравнений высших степеней, разложимых на множители первой и второй степеней над множеством целых чисел Ъ.
2. История вопроса.
1) Диофант,овы квадратичные системы и число представлений. Теория квадратичных форм была начата трудами Ферма и Эйлера. Первоначально рассматривалась задача о представлении целых чисел целочисленной квадратичной формой Q размерности dim Q = п. Наиболее известная из них - задача Ферма о представлении целого числа суммой двух квадратов
Если а - бесквадратное положительное число, то число целых решений уравнения (2) вычисляется по формуле
Лагранж и Гаусс создали общую теорию бинарных квадратичных форм, а

2 , 2 х + у = а.

имеют; одинаковый ( — 1) -адический символ:
<5 ~ _і<5' <£>• (—1)д = (-І)д' <£> п±(<5) = п±(д')-
1.3. Введем понятие рода квадратичных форм как и в [27].
Определение 1.7 Две регулярные целочисленные квадратичные формы Я и Я' принадлежат одному роду [<5], если они эквивалентны над каждым локальным кольцом Хр целых р -адических чисел, включая р = —1 .
Из определения рода и (1.7) получаем: формы, принадлежащие одному роду, имеют одинаковые определители. Две формы из одного рода рационально эквивалентны, хотя и не обязаны быть целочисленно эквивалентными. Но, в свою очередь, целочисленно эквивалентные формы тем самым и рационально эквивалентны, значит, все формы одного и того же класса входят в один род. Таким образом, каждый род [<3] состоит из конечного числа классов форм
[Я] = {<9і}, • • ■. {Як}, ь = ь{0).
Отсюда, в частности, следует, что множество квадратичных форм данного определителя с! — |<5| разбивается на конечное число родов [(5] ■
Предложение 1.4 Необходимым и достаточным условием принадлежности двух квадратичных форм и (Д одному роду [О] является совпадение всех их р -символов (р — —1,2,3,...) .
Род [<5], состоящий из одного класса Н{0) = 1 , называется одноклассным. Для краткости форму С} , принадлежащую одноклассному роду [0, будем называть одноклассной формой.