Простые бесконечномерные n-лиевы алгебры

• Автор: Пожидаев, Александр Петрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 86 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. Предварительные результаты
§1 п-Лиевы алгебры и алгебра якобианов
§2 Простые фактор-алгебры и подалгебры алгебры
якобианов
ГЛАВА 2. Мономиальные п-лиевы алгебры
§1 Внешнее произведение отображений
§2 п-Лиевы алгебры, определённые полилинейными
отображениями
§3 п-Лиевы алгебры, определённые слабо полилинейными отображениями
§4 Разложимость тензора Намбу
§5 Примеры
ГЛАВА 3. Гамильтонова и общая п-лиевы алгебры
§1 Гамильтонова алгебра А(Н, Ї)
§2 Общая алгебра Е(Іі, £, ё7, ос)
§3 О параметрическом изоморфизме подалгебр
гамильтоновой алгебры
§4 Простота алгебр Е(1г, *7, а)
ГЛАВА 4. Два класса центральных простых
п-лиевых алгебр
§1 Центроид П-алгебры
§2 Центральная простота алгебр А(Н,£)
§3 Центральная простота алгебр Е(к, £, ё7, а)
§4 Подалгебры Картана алгебр А(Н, і) и Е(Н, і, ё7, а)
Литература
ВВЕДЕНИЕ
Исторически п-лиевы алгебры возникали трижды. Впервые они возникли в 1984 г. в работе В.Т.Филиппова [6] как естественное обобщение алгебр Ли на случай п-арной операции умножения, которая является кососимметричной по всем аргументам и такой, что операторы правого умножения являются дифференцированиями.
Далее, при п = 3 они (под названием — кососимметричные тройные системы) независимо появились в работе [8] в 1985 г. при классификации тождеств в тройных системах.
Последнее возникновение п-лиевых алгебр произошло в 1994 г. в статье Л.А.Тахтаджяна [15] под названием Намбу-Лиевы “ге-бры” (алгебры). В этот раз источником их возникновения стала механика Намбу, предложенная Й.Намбу [5] как обобщение Гамильтоновой механики.
На последнем случае, наиболее далеко уходящим корнями в прошлое, мы и остановимся.
Итак, в 1973 г. Й.Намбу [5] обобщил классическую Гамильтонову механику, заменив канонически сопряженную пару переменных Гамильтонова формализма тройкой (или, более общо, п-кой) канонических переменных, а скобку Пуассона — тернарной (п-арной) операцией, так называемой скобкой Намбу. Динамика, в соответствии с Намбу, определяется уравнениями движения Намбу-Гамильтона, которые включают два (п — 1) “Гамильтониана” и заменяют канонические уравнения Гамильтона. Обобщенные уравнения движения Намбу-Гамильтона включают два “Гамильтони-
ана” д, Н и имеют вид:
# _ и п М - д(/>£>М <И 1 ’ д{%,У, %У
где справа стоит якобиан от функций /, д, Н относительно переменных а;, у, 2. Якобиан может быть интерпретирован как обобщение скобки Пуассона: он кососимметричен относительно всех аргументов и выполняется правило Лейбница по каждому аргументу. Как известно, тождество Якоби для скобки Пуассона эквивалентно теореме Пуассона, которая утверждает, что скобка Пуассона двух интегралов движения также является интегралом движения. Если потребовать аналогичную теорему для механики Намбу, то мы, вслед за Тахтаджяном [15], получаем обобщение тождества Якоби для скобки Намбу и естественным образом приходим к понятию многообразия Намбу-Пуассона порядка п как пары (АЛ, ф)1 где АЛ —многообразие, а ф — скобка Намбу, т.е. отображение ф : Ап С°°(М) Н- С°°(М) (ф(/и /„}) такое, что
для всех /1
{/1/25 /з? 5 /п+1} = Л {Л> Ль з /п-ы} + {Л, /з, I /п+1}/2 и обобщение тождества Якоби
{{Л? > /п-1? /п}) /тг+Ъ ? Лп-1} +
+{/п, {Л5 ч /п—ь/п-ы}, Лг+2, ,Лп-1} +
• + {/«7 I /2П-г{Л> 5 /п-Ь Лп-1}}
= (Л) > /п-1{/п, 7 /271-1}}-
Как известно, структура линейной скобки Пуассона эквивалентна структуре алгебры Ли на дуальном пространстве. Если поставить вопрос — какую структуру на дуальном пространстве вводит линейная скобка Намбу, то мы приходим к определению Намбу-Лиевой алгебры [15] или, что то же самое, п-лиевой алгебры [6]: векторное пространство V называется п-лиевой алгеброй, если существует полилинейное кососимметрическое отображение удовлетворяющее обобщенному тождеству Якоби.
нейных уравнений относительно неизвестных /?4
Следствие 2.1.9. Следствие 2.1.8 справедливо и в том случае, когда отображение / является вырожденным.
Доказательство. Пусть ./V = кег / = {а Е X : /а = 0} и V — X + IV — фактор-группа группы X по нормальной подгруппе N. Определим /у : Уп ь-> Ф по правилу /у{х + IV
Окончательный результат этого параграфа (в том виде, в котором он нам потребуется в дальнейшем) можно сформулировать следующим образом.
Теорема 2.1.10. Пусть С — группа, / Е ТДС) — кососимметрическое отображение и для любого а € С существуют /г®
ствуют Н
2 п-Лиевы алгебры, определённые полилинейными отображениями
Пусть, как и прежде, Ф — поле, б? — ненулевая аддитивная абелева группа. Обозначим через Ас = {еа : а Е С) — линейное пространство над полем Ф. Зафиксируем £ £ С и определим на Л У' п-арную операцию
[еа1, . , еап] — /(&Ь > ага) ' еа1+...+ап+£, (31)
где / 6 Тп( С) — кососимметрическое отображение.
Относительно операции (31) пространство Ас; становится анти-коммутативной П-алгеброй, которую обозначим через АД/, п1 к).
Всюду на протяжении этого параграфа мы будем рассматривать алгебры А<Д/, тгД) при / £ Т{0).